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expriment la fraction soient très-grands, il est néana moins impossible de réduire la fraction à plus petite dénomination , parce que les nombres, quoique grands , ne peuvent pas

être divisés en même-tems par un même diviseur sans reste.

Exemple. 4 sont proposés à réduire à plus petite dénomination, on voit que 48 peuvent se diviser par 2, par 3 , par 4 , &c. il n'importe , mais 13 ne peuvent se diviser par aucun de ces nombres, ni par 2, ni par' 3 , ni par 4; enfin ils ne peuvent se diviser par aucun diviseur , sans qu'il y ait du reste; c'est pourquoi il faut que la fraction demeure en mêmes termes qu'elle est exprimée.

eft encore une fraction qui ne peut pas se réduire à plus petite dénomination; car 25 peuvent être divifés par 5, mais 144 ne le peuvent pas être ; 144 peuvent être divisés par 4, & 25 ne le peuvent pas être , tellement qu'il faut que la fraction demeure en tels termes qu'elle est proposée.

Preuve.
Et

pour prouver qu'une fraction comme il cidessus proposée ne peut se réduire à plus petite dénomination,

Divisez le dénominateur 144 par le numérateur 25; il viendra 5. au quotient, & restera 19 à diviser par 25, c'est-à-dire .

Ensuite divisez 25 par 19, il viendra i au quotient, & restera 6, c'est-à-dire is

Divisez encore 19 par 6, il viendra 3 , & restera 1, qui est une marque que la fraction ne peut se réduire à plus petits termes.

La raison est que toute fraction de laquelle le numérateur & le dénominateur n'ont point de commune mesure, sinon l'unité, est en plus petits termes qu'elle se puisse exprimer,

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Seconde Réduction. E

Tant donné un ou plusieurs entiers , les réduire

en telle dénomination que l'on voudra. Il faut multiplier l'entier ou les entiers par le déRominateur demandé, & mettre le produit fur ane ligne pour numérateur , & le dénominateur au-dellous, & la fraction fera la réponse.

Exemple. On veut rédaire 3; entiers en une fraction qui ait 6 pour dénominateur, c'est comme si on disoit :

On demande combien trois aunes contiennent de fixièmes?

Pour faire cette réduction, multipliez les 3 aunes par 6 , il viendra 18, qu'il faut écrire sur une ligne pour numérateur de la fraction , & le 6 au-dessous pour dénominateur , & l'on aura ? égaux à 3 entiers , ou 3 aunes. Pour preuve

divisez le numérateur 18 par le dé nominateur 6, il viendra 3 au quotient, c'eit-ddire 3 entiers, ou 3 aunes,

&c.

Troisième Réduction. Tant donné entiers & fraction réduire tout en E une même fraction.

Il faut multiplier les entiers par le dénominateur de la fraction, & ajouter au produit le numérateur de la inéme fraction, la forme fera le numérateur

de la fraétion totale, & le dénominateur fera le dénominateur de la fraction proposée.

Exemple. On veut réduire 5 en même fraction, c'est-àdire en tiers, puisque le dénominateur de la fraction est 3 ; pour faire cela, je multiplie 5 par 3 , vient 15, auxquels ajoutant 2 numérateur des vient 17 , qu'il faut écrire pour numérateur de la fraétion demandée; & mettre pour le dénominateur le 3 de la fraction proposée, & on aura égaux à 5 j. Pour preuve, divisez le numérateur 17 par

le dénominateur 3 , il viendra 5 au quotient, c'est-à-dire

entiers, & restera 2 à diviser par 3, c'est-à-dir $, & le tout fera 5 comme il est requis.

Quatrième Réduđion. Tant donné un nombre rompu plus grand que échet.

Il faut diviser le numérateur de la fraction par son dénominateur , & le quotient donnera des entiers ; s'il reste quelque chose, ce sera le numérateur d'une fraction qui aura même dénomination que le dénominateur premier.

Exemple. La fraction { est proposée ; on demande combien ce font d'entiers : il faut diviser 55 par 12 , il viendra 4 au quotient, qui font 4 entiers, & reste 7, lesquels étant écrits sur le dénominateur 12, font jis tellement que la fraction { vaut 4 entiers &.

Pour preuve, multipliez les 4 entiers par 12 dénominateur des jį il viendra 48, auxquels vous ajou. terez 7, & ce seront comme il est requis.

Cinquième Réduction. E Tuire en méme dénomination.

Tant donné deux ou plus de fractions, les réCette opération de réduction est une des principales pour le maniement des nombres rompus ou fractions ; car deux ou plus de fractions ne se peuvent ajoûter, soustraire ni diviser, fi elles ne sont de même dénomination.

Quand il n'y a que deux fractions à réduire en même dénomination, comme ; & 1, si l'on veut avoir le numérateur particulier de chaque fraction eu égard au dénominateur commun, il faut multi-, plier en croix le numérateur de l'une par le dénominateur de l'autre réciproquement , & poser les deux produits au-dessus des deux fractions ; puis pour avoir le dénominateur commun, il faut multiplier les deux dénominateurs l'un par l'autre, & le

produit sera le dénominateur commun. Par exemple, si on veut réduire & 1 en même. dénomination, on les posera, comine il se voit ciderrière en croix ; cela fait, on multipliera 2 numérateurs de par 4 dénominateur des , le produit est 8 que l'on posera au-dessus des žu

Ensuite on multipliera le 3 numérateur des par 3 dénominateur des , il viendra 9 que l'on pofera au dessus des , puis multipliant les deux dénominateurs 3 & 4 entr'eux, le produit est 12 , qu'il faut écrire au-dessous des deux fractions

pour

dénominateur commun, comme il se voit par l'opération.

8

Ayant fait l'opération ci-à-côté, on

font convertis en X, X de les element; ainfi des autres.

12

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Pour preuve que į sont égaux à it, divisez 8 par. 2, viendra 4, & 12 par 3 viendra aussi 4.

De même pour pronver que sont égaux à ii, divisez 9 par 3 , viendra 3., divisez aussi 12 par 4, viendra 3, comme ci-dessus.

Ce que dessus soit dit pour toujours , lorsqu'il s'agira de prouver qu'une grande fraction est égale à · ime petite, en laquelle elle est réduite par diminu

tion, ou au contraire , qu'une petite est égale à une grande , en laquelle elle est réduite par augmentation.

Voyez la page 62 , où je traite amplement de la preuve de la réduction d'une grande fraction à une petite.

Mais s'il y a trois fractions ou plus à réduire en même dénomination, comme , alors il faut trouver dans son esprit un nombre le plus petit que l'on pourra , qui puisse être divisé justement sans reste par tous les trois dénominateurs, qui sont 3 ,

&6, lequel nombre servira de dénominateur commun aux trois susdits dénominateurs. On peut se figurer plusieurs nombres propres , comme 12 qui est divisible par 3 , par 4 & par 6, comme aufli 24, qui eft divisible par les mêmes 3, 4 & 6; ainfi de 36, ainsi de 48 , & de plusieurs autres ; mais parce que 12 est le plus petit, & qu'il est plus facile & plus court d'opérer par de petits nombres que par de grands, il s'en faut servir pour dénominateur commun }} &.

Maintenant pour avoir le numérateur particulier de chaque fraction , quant au commun dénomina

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