deur par toute la grandeur x, il s'en faut la partie <? ainfi ayant multiplié la grandeur b-d par toute la grandeur x, le produit xb+xd eft plus grand que le véritable produit qu'on cherche, de la grandeur b multipliée par , & de d multiplié par, c'eft-àdire de b+d: ainfi il faut retrancher ce produit zb+d, de la manière qu'il a été enfeigné dans la fouftraction, écrivant xbxd-zb—zd.

TROISIÈME RÈGLE,

Moins par moins donne plus.

C'est-à-dire, que fi les deux grandeurs qu'on multiplie ont le figne-, le produit de la multiplication de l'une par l'autre aura le figne +. Par exemple b-d étant multiplié par x-, le produit fera xb-xd-b+d: Et afin qu'on comprenne cela, voici comment fe fait l'opération. Je multiplie d'abord b-d par x, & premièrement b, ce qui me donne xb pour première multiplication partiale. Et comme je ne voulois pas multiplier toute la grandeur b par la grandeur x, qu'il s'en falloit la grandeur d; le produit xb eft trop grand, fçavoir de xd. Je retranche donc xd de xb par le figne de la fouftraction en cette forte xb-xd; & ainfi j'ai déja le produit des deux grandeurs à multiplier, par une des grandeurs du multipliant, fçavoir, de b―d par x. Refte encore à connoître le produit de b-d par z. Mais fi vous avez bien pris garde, en multipliant b―d par x, l'avez auffi multiplié par , ce qu'il ne falloit pas faire; car vous n'aviez pas à multiplier b-d par toute la grandeur x, il s'en falloit la grandeur: partant le produit de b-d par x eft trop grand, fçavoir, du produit de b-d par z qui eft zb-zd; c'eft pourquoi auffi je le retranche de xb-xd, en changeant les fignes, fuivant qu'il a été enseigné dans lą

Vous

fouftraction. Ce qui me donne pour total & véritable produit xb-xd-zb-zd.

Ainfi pour comprendre la raison de cette Règle de multiplication, moins en moins donne plus, il n'y a qu'à fe former une jufte idée de la multiplication, & Je fouvenir de ce qui a été dit dans la fouftraction s n. 32. fans y chercher d'autre myflère; car avec ce figne plus, on ajoute feulement ce qu'on avoit ôté de trop.

Voici une autre preuve que pardonne & que par donne. On la peut paffer dans la première lecture de cet Ouvrage, elle s'entendra plus facilement, quand on fera exercé à ce calcul.

Soit à multiplier a-b parc, je dis que le produit fera ac-be; car fit a-b=d: donc a=d+b. Ce qui étant multiplié parc donne ac dcbc: Donc ac-bc-dc, & ac-bc eft le produit de a-b parc: ce qu'il falloit démontrer,

Soit encore a-b à multiplier par -c. Il faut prouver que le produit eft-ac+bc. L'on fait comme devant, a-b-d, ou a=d+b; puifque par la démonftration précédente par-donne-, en multipliant a=d+b par —c, on aura — -ac-dc-bc, ouac+bc-dc. Ainfi a-b multiplié par-c donne le produit ac-+-bc; ce qu'il falloit démontrer. PREMIER EXEMPLE POUR LA MULTIPLICATION.

4a+126+8f

par 54- 36+4f

20aa+60ab+40af—36bb—24bf+32ff

—12ab+16af

+8bf

29a4+48ab56af—36bb24bf+32ff.

AUTRE EXEMPLE.

8m-4n-20x

par 4m-2n-40x

32mm-16mn-80mx+8nn+-407x+800xx

-16mn—320mx

+160nx

32mm-32mn—400mx+8nn+200nx+800xx

Comment on peut rendre les expreffions de ces
multiplications plus nettes.

Lorfque les grandeurs qu'on multiplie les unes par les autres, ont les mêmes lettres, on peut abréger l'expreffion de leur produit. Le produit de a+b par a--b, eft felon la Règle aa+ab—ab—bb : or puifque+ab-ab ne fait rien; donc aa-bb est égal à aa+ab—ab—bb. Le produit de a-b par a-best aa-ab-ab+bb; puifque-ab-ab eft la même chofe que-zab; je mets donc aa—2ab+bb pour aa-ab-ab-bb.

Le produit de 3d+e par 3dte eft 9dd6dė +ce. Celui de 3d+e par 3d-e, eft 9dd-ee. Celui-ci de 3d-e par 3d-e, eft 9dd-6de+ee. Lorfque les grandeurs font fort compofées, & que leurs produits feroient trop étendus, pour marquer feulement qu'il faut multiplier ces grandeurs compofées l'une par l'autre, on les joint, mettant entre deux cette petite croix de faint André X comme on l'a dit; & les couvrant chacune d'une ligne, ainsi 4a+3aa−2a+1 × aa—5a+6.

DE LA DIVISION.

Ldéfait de comme nous avons déja remarqué;

défait ce que la multiplication avoit compofé; ainfi pour divifer, il faut fe reffouvenir des Règles précédentes de la multiplication.

Nous avons vu que la divifion & la multiplication fe fervent de preuves. On ne fe peut pas tromper dans la divifion, pourvu qu'on obferve fi le quotient, en multipliant le divifeur, fait un produit égal à la grandeur qu'on a divifée : car, comme on l'a vu, s n. 21. fi cela arrive, ce quotient eft le véritable: ainfi x multiplié par b+d, faifant le produit xb+xd+zb+zd, il est certain que bd eft le quotient de xbxd+z4zd divifé par x-+. Il ne faut donc que fuivre les trois Règles que nous venons de donner pour la multiplication.

1o. Puifque plus en plus donne plus, fi la grandeur qui doit être divifée a le figne+, & que le divifeur ait le figne, c'est une marque que le quotient doit avoir+; ainfi la grandeur xbxd +b+zd étant donnée pour être divifée par x+, il eft manifefte que le quotient eft b+d.

2o. Si la Grandeur à diviser a le figne & que le divifeur ait le figne+, le quotient aura le figne -; & fi le divifeur a le figne-, le quotient aura le figne. Ainfi divifant xb+xd-zb-zd, par x-, le quotient fera b-d; car bd multipliant x-x, fait la grandeur donnée xbxd—zb—¿d.

3°. Si la grandeur donnée à diviser a le figne +, & le divifeur le figne, le quotient aura ce mén.e figne. Divifant xb-xd-zb-+zd par x-, le quotient fera b-d.

Lorfque l'expreffion d'une opération a été abrégée, pour en appercevoir le quotient, ou quels font les termes fupprimés dans les produits à divifer, & les rétablir; voici ce que l'on fait.

comme

Je dis mm divifé parm donne+m, que j'écris au quotient. Or m―n du diviseur multiglié par m du quotient donne + mm mn, que j'écris au-deffous de toute la grandeur à diviser, avec des fignes contraires -mm+mn, vous voyez; & réduifant mm- nn— mm +- mn, l'on a o+mn — -nn, qu'il faut encore divifer par m-n. Je dis donc encore + mn divifé par m donnen que j'écris au quotient, & m―n multiplié par n, donne mn — — nn, qui étant détruit avec des fignes contraires, détruit entièrement le produit à divifer o mn―nn: Ainfi je fuis affuré que m +n eft le quotient de mm-nn, divifé par m-n. Lorfque dans la grandeur à divifer on ne trouve aucune des lettres du divifeur, c'eft une marque qu'on ne peut faire cette divifion qu'en plaçant audeffus d'une petite la grandeur à divifer, & le divifeur au-deffous: ainfi divifant bd+pq par r+s le dd+pq quotient fera

r+s

Je ne donne pas davantage d'exemples de toutes ces opérations, parce que je veux que mon Ouvrage foit court. Je ne mets que des exemples faciles, écrivant pour ceux qui commencent, & qui peut-être n'auront point de Maitre pour les aider.