leur de tous les fept termes il faut divifer 4096 moins 1 par 3, il viendra 1365 qu'il faut ajouter aux mêmes 4096, & il viendra 5461 pour la fomme des fept termes propofés. Ainti des autres.

DE L'EXTRACTION

De la Racine quarrée.

A racine quarrée doit être confidérée comme

Lune mefure, parfaite ou égale en deux dimen

fions, fçavoir, longueur & largeur.

D'où s'enfuit qu'ayant trouvé la fuperficie d'une figure très-irrégulière, qui ait autant de côtés que l'on voudra, fi on veut la rendre dans un quarrée parfait où toute ladite fuperficie foit comprife, il faut prendre la furperficie de ladite pièce, fuivant les Règles que j'enfeignerai dans mon Traité de l'Arpentage ci-après; puis ayant trouvé que la fuperficie de la pièce de terre contient 64 toiles ou perches quarrées, de ce produit j'en tirerai la racine quarrée qui fera 8; cela fait, je dis que pour faire un quarré égal à cette fufdite pièce irrégulière, il faut qu'il ait huit toifes de chaque côté.

Pour l'intelligence de ce que ci-deffus, il faut fçavoir que quand on dit quarrer un nombre, c'eft le multiplier par foi-même, & réciproquement que tout nombre multiplié par foi-même, produit un quarré, comme 3 multiplié par 3 font 9, 8 par 8 font 64, & réciproquement ces deux nombres 3 & 8 font appellés racines des quarrés 9 & 64; ainsi des autres. Pour mieux faire entendre cela, j'ai dreffé la Table ci-deffous des quarrés & de leurs racines jufqu'à 100.

3 ... 4 ... 5 ... 6 ... 7
Quarrées.

Ι 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Par le moyen de cette Table, on peut facilement extraire la racine quarrée de tous les nombres qui font au-deffous de 100, parce qu'ils font compris dans icelle; comme fi on demande la racine quarrée de 49, on trouvera que c'est 7, car 7 fois 7 font 49 nombre quarré.

Mais fi l'on ne trouve pas quelque nombre exactement dans l'ordre des quarrés, on prendra le prochain moindre; comme fi on vouloit extraire la racine quarrée de 69, on prendra 64, qui eft le prochain quarré au-deffous de 69, dont la racine eft 8 pour nombre entier; le refte qui eft 5, fera une fraction dont il fera parlé page 333.

Mais fi le nombre duquel on veut extraire la raci ne quarrée est plus que 100, par exemple, 73964, il faut opérer en cette forte.

Ayant pofé le nombre dont

il est question, & formé un

3

demi cercle au-devant d'ice- 7. 39. 64: ( z
lui, pour poser le quotient
comme à la divifion, il faut 2
féparer les figures de deux en

deux avec un point, commençant à la première figu-
re vers la main droite, & finiffant à gauche; comme
en cet exemple, le dernier point tombe fur le 7 qui
eft à main gauche; on dira donc pour commencer,
la racine quarrée de 7 eft 2, qu'il faut écrire au
quotient, & auffi fous le 7 fi l'on veut, puis dire
2 fois 2 font 4, lefquels ôtés de 7 refte 3, que l'on
écrira au-deffus du 7, barrant en même-tems le 7
& le 2 auffi qui eft au deffous, comme à la divifion.

Enfuite pour trouver un divifeur, il faut doubler la racine 2 qui eft venu au quotient, il viendra 4

1

le

qu'il faut mettre au-deffous de 33, mais en avançant d'une figure comme à la divifion, puis dire en 33 combien de fois 4, je trouve qu'il y eft 7 fois, quel 7 étant écrit au quotient enfuite de 2 déja pofé, il le faut auffi écrire pour divifeur fous le 9, 'puis on dira 7 fois 7 font 49, ôtez de 49, refte zero, & retient 4, puis continuant 7 fois 4 font 28, & 4 que j'ai retenu, font 32, ôtez de 33, reftera i que j'écris au-deffus de 3.

3 ΙΟ

7. 39. 64: ( 27

2 47

Maintenant pour trouver un fecond divifeur, il faut doubler les deux racines 27, difant: 2 fois 7 font 14, je pofe 4 fous 6, & retiens 1 ; enfuite je dis 2 fois 2 font 4, & 1 que j'ai retenu font 5, que j'écris fous 7 vis-à-vis du zero; puis je dis, en 10 combien de fois 5, je trouve qu'il n'y peut être qu'une fois, que j'écris au quotient: ayant pofé i au quotient, on l'écrira auffi pour divifeur fous 4, première figure à main droite, & continuant comme à la divifion, on dira une fois 1 est 1, ôtez

I

de 4 qui font deffus, refte 3

qu'il faut écrire fur 4; puis

une fois 4 eft 4, ôtez de 6,

7.

39.64

refte 2 qu'il faut écrire deffus 6; puis 1 fois 5 eft 5, lefquels ôtés de 10, refte pour 5, qu'il faut écrire fur le

(271

zero; le tout comme il fe

voit par les opérations ci-deffus.

la

L'opération étant ainsi achevée, on trouve que racine en nombres entiers eft 271, & qu'il reste 523, dont il fera parlé ci-après.

Preuve de l'extraction de la racine quarrée. Pour preuve, il faut multiplier 271 par eux-mê mes, & ajouter à leur produit le refte de l'extrac

tion qui eft 523, la fomme des produits fera 73964 qui eft le nombre duquel on a tiré la racine quarrée; & s'il ne refte rien, on ajoutera tout fimplement les produits, la fomme donnera le nombre requis: Ce que l'on obfervera généralement pour la preuve de la racine quarrée.

Autre Preuve de la racine quarrée par 9. Comme la preuve de la racine quarrée par 9 a été jufqu'à préfent négligée, parce qu'elle n'eft pas de grande utilité, & par cette raifon que les Auteurs, qui ont traité de l'Arithmétique, n'ont pas voulu fe donner ia peine de l'expliquer, je n'en parlerai que fort legèrement & comme par curiofité, afin de témoigner au Lecteur que je n'ai voulu rien omettre de ce que j'ai jugé lui devoir donner quelque fatisfaction.

Je propoferai donc la queftion fuivante, pour mettre en pratique ladite preuve.

On veut extraire la racine quarrée de 67895. R. 260, & refte 295.

Ayant trouvé que la racine du nombre ci-dessus est 260, & qu'il refte 295, je pose une croix, comme on a coutume, en faisant cette même preuve de 9 aux Règles d'Addition, Souftraction, &c. puis je tire la preuve de 260, je trouve que c'eft 8 que je pofe au haut de ladite croix: Enfuite je quarre 8, font 64, dont la preuve eft 1, que je pofe au bras gauche de la même croix.

Cela fait, je tire la preuve de 295 reftés, il vient 7 que je pose au bras droit de la croix; puis j'ajoute 7 & I qui font au deux bras de la croix, il vient 8, que je pofe au bas de ladite croix : Enfin je tire la preuve de 67895, il vient auffi 8 égal au dernier 8 trouvé, que je pofe auprès d'icelui, & c'eft la preuve. S'il n'y avoit point eu de refte, au lieu de 7 il faudroit écrire zero, le refte fe doit fous-entendre.

on

Remarque. Comme le nombre ci-dessus propofé n'eft pas quarré, puisqu'il refte 295, fi on le vouloit rendre parfaitement quarré, & par conféquent avoir 261 pour racine fans refte, au lieu de 260, demande combien il y faudroit ajouter ; il faut doubler la racine 260, plus 1, il viendra 521, & de 521 fouftrayant 295, le refte fera 226 qu'il faut ajouter au nombre 67895 ci-deffus propofé, il viendra pour fomme 68121, dont la racine quarrée eft 261.

Mais fi au lieu d'augmenter la racine, on vouloit exprimer en fractions le refte de l'extraction ci-deffus, il faut doubler la racine 260, plus 1, comme ci-devant, il viendra 521 pour dénominateur, pofant 295 qui eft le refte, pour numérateur, & la fraction fera 225 comme il fe voit par l'opération

293

5219

que je commence ci-après.