7

4 7 5 4 livres.

Ayant ainfi pofé les quatre fommes les unes fous les autres, il faut commencer à compter par la colonne A, difant de bas en haut, 7 & 8 font 15, & 5 font 20 & 4 font 24 de 24 je pofe le furplus des dixaines, favoir 4, & retiens les deux dixaines que je porte à la colonne B, difant: 2 & 4 font 6, & 4 font 10, & 5 font 15 je pose 5, & retiens une dixaine que je porte à la colonne C, difant 1 & 3 font 4, & 3 font 7: je po-fe 7 fous la même colonne C, & ne retiens rien. Enfin, il fe trouve feulement 4 dans la colonne D, que j'écris fous la même colonne D, ainfi des

autres.

Il faut remarquer que faifant l'Addition de chaque colonne, fi les dixaines fe trouvent complettes, comme 10, 20, 30, 40, &c. il faut pofer zéro deffous & retenir une dixaine, ou plus, s'il y échet, que l'on joindra à la colonne fuivante, & ainfi de colonne en colonne, comme il fe voit en l'exemple ci-deffous. Question.

Dans une Armée, il y a des Soldats de quatre différentes Nations, comme ci-deffous, on demande ́combien il y a de Soldats en tout.

4532 Soldats François.

5327 Allemands.

3459 Lorrains.

682 Suiffes.

14000 Soldats.

Ayant fait l'Addition, il eft venu 14000 Soldats en tout, & c'eft la réponse.

Exemple d'Addition compofée de livres,
fols & deniers.

Un particulier fait revue de fes comptes, & trouve qu'il lui eft dû d'une part,

DC BA

on demande combien il lui eft

3 5 19

Somme totale 83 7 6 liv. 18 f. 4 den. qui lui font dûs.

def

Ayant difpofé les fommes particulieres comme ci-deffus, favoir les livres fous les livres, les fols fous les fols, & les deniers fous les deniers on commencera à compter par la colonne des deniers, qui font 28 en leur total, qui valent 2 fols 4 deniers, il faut pofer les 4 deniers, & retenir les 2 fols, qu'il faut joindre à la premiere colonne des fols où il fe trouve 28 fols, quels faut pofer 8 fols, & en retenir 2 dixaines qu'il faut retenir pour les joindre à la feconde colonne des fo's, difant: 2 dixaines retenues & I font 3, & I font 4, & 1 font 5 dixaines, ou 50 fols, qui valent 2 liv. 10f. je pofe une dixaine qui vaut 10 1. derriere les 8 f. déjà pofés, & retiens 2 liv. qu'il faut joindre à la prochaine colonne des livres, marquée A, difant: 2 livres que j'ai retenues & 9 font II, & 8 font 19, & 5 font 24, & 8 font 32, & 4 font 36; je pofe 6 & retiens 3 dixaines que je porte à la colonne B ; & continuant d'ajouter de même ordre de colonne en colonne jufqu'à la colonne D, comme il a été expliqué ci-devant, on trouvera que la fomme

totale elt 8376 livres 18 fols 4 deniers; ainfi des

autres.

PREUVE DE L'ADDITION, Avertiffement fur la preuve des quatres Regles que l'on appelle Preuve de 9.

Quoique l'Addition, Souftraction, Multiplication & Divifion, qui font les quatre préceptes defquels on fe fert pour faire toutes les Regles d'Arithmétique en nombres entiers, fe doivent prouver par leur contraire; favoir l'Addition par la Souftraction, & la Souftraction par l'Addition, la Multiplication par la Divifion, & la Divifion par la Multiplication; néanmoins il femble qu'il foit néceffaire en certaines chofes de fuivre l'ufage & la pratique ancienne, & fe conformer en quelque façon au defir de ceux qui cherchent la facilité. C'eft pourquoi je n'ai pas voulu négliger de donner l'explication de la preuve de l'Addition par 9, quoiqu'elle foit fujette à manquer, comme je ferai voir ci-après par raifon évidente.

Enfuite de quoi j'expliquerai la preuve de la même Regle d'Addition, laquelle fe fait par Souftraction. Exemple d' Addition en nombres entiers, pour la pratique de la preuve par 9.

9290 liv.

Explication de la preuve par 9.

Pour prouver l'Addition ci-deffus, il faut nom mer tous les caracteres de chaque colonne, commençant à main gauche de haut en bas bas en haut indifféremment & rejeter tous les 9

ou de

à mesure qu'il s'en rencontre dans les nombres, foit en figure, foit en valeur, & à la fin pofer fur une ligne le furplus de 9.

Enfuite, il faut tirer la preuve de la fomme totale, rejetant les 9 comme deffus; & fi le furplus de 9 vient égal au premier refte pofé fur ladite ligne, la fomme totale de l'addition fera la véritable fomme que l'on cherche, comme il fe voit ci-deffus, où il refte 2 pour preuve, tant des fommes particulieres, que de la fomme totale; mais ce n'est qu'en tant que l'on peut eftimer bonne la preuve par 9, parce qu'elle eft fujette à manquer.

La raifon eft, que fi par malice, ou par mécompte on met un 9 pour un zéro, ou, au contraire, que l'on change quelque caractere de place, tant aux fommes particulieres qu'à la fomme totale, la preuve ne laiffe pas de fe trouver bonne, & néanmoins la Regle eft fauffe: au lieu, au contraire, que lorfque la preuve eft fauffe, la regle eft fauffe auffi, comme il fe voit dans l'exemple ci-deffus, où la fomme totale eft 9290, laquelle étant fup. pofée être 9920, fi on en tire la preuve, elle fe trouvera bonne, parce que le furplus de 9 eft 2, comme ci-devant, & cependant la Regle feroic fauffe.

Si, au contraire, on fuppofoit la fomme totale de l'Addition ci-deffus être 9820, la preuve feroit fauffe, & partant la Regle fauffe auffi, & ainfi des autres Additions tant en nombres entiers, que de diverfes efpeces, foit d'Addition, Souftraction, Multiplication ou Divifion. C'eft pourquoi je ne vous confeille de vous en fervir, que par fupplément de la véritable preuve, laquelle fe fait par le contraire, c'eft à-dire, par Souftraction.

Autre avertiffement fur la preuve de l'Addition par 9.

Si les fommes particulieres à ajouter font com

pofées de livres, fols & deniers, comme à l'exemple fuivant, qui fervira auffi pour expliquer la preuve de l'Addition par la Souftraction; alors on gardera le même ordre ci-deffus pour les livres, qui eft de rejeter tous les 9 qui fe trouveront ; mais au lieu que l'on écrit tout fimplement le furplus de 9 fur une ligne, quand il n'y a que des livres à ajouter ici dans l'Addition de livres, fols & deniers, après avoir tiré la preuve de toutes les livres, il faut doubler le furplus de 9, s'il y en a, pour le joindre aux fols, defquels il faut tirer la preuve de même, & de tripler le furplus de 9, s'il y en a, pour le joindre aux deniers, defquels il faut encore tirer la preuve, & viendra 2, qu'il faut écrire fur une ligne.

Enfin, il faut tirer la preuve de la fomme totale en même raison; favoir, après avoir tiré la preuve de toutes les livres, de doubler le furplus de 9 pour le porter aux fols, & tripler le furplus de 9 aux fols pour le porter aux deniers, defquels ayant tiré la preuve, le furplus de 9, qui fera 2, fe doit écrire fous la même ligne, defquels deux reftes fe trouvant égaux, on doit conclure que la Regle eft bien faite, comme il fe voit dans l'exemple ci-deffous, où la preuve des deniers de la fomme totale fe trouve égale à la preuve des deniers des fommes particulieres; favoir 2 & 2.

La raifon pourquoi, après avoir tiré la preuve des livres, on double le furplus de 9 pour le joindre aux fols, c'eft que chaque livre vaut 20 fols, & que la preuve de 20 est deux; comme aussi, pourquoi après avoir tiré la preuve des fols, on triple le furplus de 9 pour le porter aux deniers, c'est que cha-, que fol vaut 12 deniers, & que la preuve de 12, c'eftà-dire, le furplus de 9 eft 3.

On obfervera le même ordre pour la preuve de la Soustraction, Multiplication, & Division, lorf