Der Geist der mathematischen Analysis und ihr Verhältniss zur Schule, Volume 1

Voorkant
Duncker und Humblot, 1842
 

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Pagina 2 - Les séries divergentes sont, en general, quelque chose de bien fatal, et c'est une honte qu'on ose y fonder aucune démonstration ... la partie la plus essentielle des Mathématiques est sans fondement. Pour la plus grande partie les résultats sont justes, il est vrai, mais c'est là une chose bien étrange. Je m'occupe à en chercher la raison, problème très intéressant.
Pagina 3 - La théorie des séries infinies en général est jusqu'à présent très mal fondée. On applique aux séries infinies toutes les opérations, comme si elles étaient finies; mais cela est-il bien permis? je crois que non. Où est il démontré qu'on obtient la différentielle d'une série infinie en en prenant la différentielle de chaque terme? Rien n'est plus facile que de donner des exemples où cela n'est pas juste; par exemple -5- = sin .r — l sin 2дг •+- \ sin З.г — etc.
Pagina 3 - J'ai commencé à examiner les règles les plus importantes qui (à présent) sont ordinairement approuvées à cet égard, et à montrer en quels cas elles sont justes ou non. Cela va assez bien et m'intéresse infiniment.
Pagina 2 - pour toutes valeurs de m, lorsque x est moindre que l'u„nité. Lorsque x est égal à +1, la même formule a lieu, „mais seulement si m est plus grand que — 1, et lorsque „x est égal à — 1, la formule n'a lieu, que pour des va„leurs positives de m. Pour toutes les autres valeurs de x „et de m, la série l+mx+>
Pagina 2 - Lorsque x est égal à - 1 - 1 , la môme formule a lieu , mais seulement si ta. est plus grand que — 1, et lorsque x est égal à — 1, la formule n'a lieu que pour des valeurs positives de m. Pour toutes les autres valeurs de .r et de от la série \-\-m ,v-\- etc.
Pagina 2 - Enfin mes yeux se sont dessillés d'une manière frappante, car à l'exception des cas les plus simples, par exemple les séries géométriques, il ne se trouve dans les mathématiques presque aucune série infinie dont la somme est déterminée d'une manière rigoureuse, c'est-à-dire, la partie la plus essentielle des mathématiques est sans fondement. Pour la plus grande partie les résultats sont justes, il est vrai, mais c'est là une chose bien étrange. Je m'occupe à en chercher la raison,...
Pagina 3 - ¡p'-rr- -^ . у"ж -+- . . . tant que la série est convergente; mais on l'emploie à l'ordinaire sans façon dans tous les cas. La théorie des séries infinies en général est jusqu'à présent très mal fondée.
Pagina 2 - Lorsque m est compris entre — 1 et — oo, les deux séries sont divergentes, et par conséquent elles n'ont pas de somme. Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal, et c'est une honte qu'on se soit avisé d'y fonder aucune démonstration. On peut démontrer tout ce qu'on veut en les employant, et ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et qui ont enfanté tant de paradoxes.
Pagina 2 - ... une chose bien étrange. Je m'occupe à en chercher la raison, problème très intéressant. Je ne crois que tu pourras me proposer qu'un très petit nombre de problèmes ou de théorèmes contenant des séries infinies, à la démonstration desquels je ne pourrais faire des objections bien fondées. Fais cela, et je te répondrai. Pas même la formule binôme n'est encore rigoureusement démontrée. J'ai trouvé qu'on a . ... pour toutes les valeurs de m, lorsque x est moindre que l'unité.

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