exprimées par les parties de l'unité, & qu'on peut appliquer à nombrer quelque chofe que ce foit: comme les parties d'un fel, d'une livre, d'une aune, &c. Les Fractions vulgaires font les parties de quelque entier qui eft dans l'ufage, comme 4 fols, qui font le cinquième de 20 fols, ou 2 pieds, qui eft le tiers de la toife, ainfi des autres. La Fraction Arithmétique, qui eft celle de laquelle j'entens parler dans ce Traité, vient enfuite d'une Divifion, ou bien elle eft propofée felon qu'il eft befoin dans quelque opération, & s'écrit par deux nombres que l'on écrit l'un fous l'autre, & une ligne entre deux, comme qui fignifient trois quarts, defquels celui de deffus eft appellé Numérateur, qui dénote les parties de l'entier, & celui qui eft deffous eft appellé Dénominateur, qui montre en combien de parties l'entier eft divifé, comme il fe voit par la démonstration qui fuit. 3 Numérateur. 4 Dénominateur. De même qui fignifient trois feptièmes parties, telles que le tout eft divifé en 7, comme 3 livres, 3 écus, 3 piftoles à divifer par 7. Les Fractions fe peuvent rencontrer en trois diverfes façons, ou lorsque le Numérateur eft plus grand que le Dénominateur, on lorfqu'il eft égal, ou plus petit. Si le Numérateur eft plus grand que le Dénomi nateur, la Fraction vaut plus que l'entier, comme qui font plus que l'entier d'un quart. S'il eft égal, la fraction vaut jufte l'entier, comme 4. Enfin fi le Numérateur eft plus petit que le Déla Fraction vaut moins que l'entier, nominateur comme; ainfi des autres. Il faut remarquer que le Dénominateur en fraction représente toujours l'entier, tellement que quand la fraction fera grande, comme 77 pour fçavoir combien ce font d'entiers, il faut divifer le Numérateur 77 par le Dénominateur 8, & il viendra 9 au quotient, c'est-à-dire 9 entiers & reftera 5 à divifer par 8 c'est-à-dire, & le tout fera 9 entiers & parties de telle chofe que l'on voudra divifer, foit d'écus, de livres, de toifes, de perches, &c. Mais en matières de fractions, & de tant que l'on en voudra, il n'y a que le dernier Dénominateur qui vaille un entier, comme fi on demande quels font les de de d'un écu de 60 fols, on multipliera les Numérateurs 2, 3 & 5 entr'eux l'un par l'autre > fçavoir 2 par 3 vient 6, & 6 par 5 vient 30 que l'on pofera pour Numérateur, enfuite l'on multipliera jes Dénominateurs 3, 4 & 6 continuement, fçavoir 3 par 4 viendra 12, & 12 par 6 viendra 72, que l'on pofera Dénominateur au-deffous de 30, & la fraction fera parties d'un écu: Quant à l'évaluation des fractions, j'en parlerai ci-après. pour Ayant dit ces chofes de la Fraction arithmétique, il convient de paffer à l'explication des quatre Regles, d'Addition, de Souftraction, Multiplication & Divifion ayant préalablement fait voir quelques réductions, qui fervent auxdites Regles, lefquelles réductions font spécifiées ci- deffous. 1. Réduire une grande fraction à une moindre. 2. Réduire des entiers en une fracton de telle dénomination que l'on voudra. 3. Etant donné entiers & fraction, réduire tout en une même fraction. 4. Etant donné une fraction de laquelle le Numérateur foit plus grand que le Dénominateur la réduire en entiers & fraction s'il y échet. 3. Etant donné deux ou plus de fractions, les réduire en même, dénomination. E Première Réduction. Tant donné une grande fraction, la réduire en une moindre dénomination. Réduire à moindre dénomination, c'est trouver de plus petits nombres que ceux par lesquels la fraction propofée eft exprimée, & qui faffent la même valeur, puifque les nombres qui font en même raison font les fractions égales, & qu'il eft plus facile d'opérer par une petite fraction que par une grande: Par exemple, font égaux à auxquels il font réduits, comme vous le verrez ci-après pour la Règle, Pour opérer en cette réduction, l'une eft tâtonneuse à ceux qui ne connoiffent pas la puiffance des nombres, mais prompte à ceux qui la connoiffent: l'autre eft par une doctrine certaine & infaillible, je les expliquerai toutes deux. Exemple. Soit propofée la fraction,¦ à réduire à plus petite dénomination. Il faut trouver un nombre par lequel on puiffe diviser le Numérateur 9, & le Dénominateur 12 en même-tems fans reste. Pour faire cette réduction, je trouve que 3 peut fervir de diviseur à 9 & à 12; car prenant le tiers de 9, vient 3; prenant auffi le tiers de 12, vient 4, que je pofe l'un fous l'autre en fraction, & ce font égaux à 2, ainfi des autres. Mais fi les nombres de la fraction propofée font fi grands, que l'on ne les puiffe pas réduire tout d'un coup à la plus petite dénomination requife, comme dans l'exemple ci-deffous; alors on fe fervira de plufieurs divifions continuées, comme dans l'exemple fuivant, 144 Exemple. La fraction eft propofée à réduire à plus petite dénomination, je regarde par quel nombre je pourrai divifer le numérateur & le dénominateur en même-tems, exactement, fans refte, comme par 2,3,4,6, &c. enfin par quelque nombre que je le puiffe faire, pourvu qu'il ne refte rien. La première divifion étant faite de deux quotiens, j'en forme une autre fraction; puis je confidère fi le numérateur & le dénominateur de cette feconde fraction peuvent être encore divifés par un même nombre fans refte: Cette feconde divifion faite des quotiens, j'en forme encore une autre fraction, & ainfi de fuite, jufqu'à ce que j'aie trouvé une fraction de laquelle le numérateur & le dénominateur ne puiffent plus être divifés par un même nombre; car alors ce fera la plus petite dénomination requife. 96 Conftruction de la réduction de 2 à plus petits nombres. Pour la faire, je divife 96 par 4, il vient 24; je divife auffi 144 par 4, il vient 36, c'est-à-dire 34. Je divife encore 24 par 4, il vient 6, & 36 auifi par 4, il vient 9, & ce font . Enfin je divife 6 par 3, il vient 2, & 9 auffi par 3, il vient 3, c'est-à-dire pour les plus petits nombres faifant une fraction égale à 724, 96 comme il fe voit ci-deffous par l'opération. 96246 724 égaux à 24. Preuve de la Reduct on d'une grande fraction à une plus petite qui lui fort égale. Pour preuve qu'une grande fraction est égale à une petite, en laquelle elle eft réduite, ou qu'une petite eft égale à une grande. Il faut toujours divifer le numérateur de la grande fraction par le numérateur de la petite, viendra un non.bre. Il faut auffi divifer le dénominateur de la grande fraction par le dénominateur de la petite, & viendra le même nombre. 96 144 Comme dans l'exemple de 24 que nous avons réduits à, fi on divife 96 par 2, viendra 48. Si on divife pareillement 144 par 3, viendra 48 comme deffus, ce qui dénote l'égalité qu'il y a entre 24 &; ainfi des autres, & c'eft la 96 144 144 preuve. Pour faire mieux connoître la raifon de la preuve ci-deffus de la réduction de 2 à, je dirai que le même quotient qui fe trouve en divifant 96 par 2, & 144 par 3, eft la même chofe que fi on vouloit divifer 96 livres à 144 perfonnes, parce que chacune auroit autant pour fa part que fi on vouloit partager 2 livres à trois perfonnes; fçavoir 13 fols 4 den. qui font les deux tiers de 20, & partant on doit s'affurer que la preuve ci-deffus eft générale & infaillible pour voir s'il y a égalité de valeur entre deux fractions, dont l'une eft connue, & l'autre ne l'eft pas, comme il fe verra dans les Regles d'Addition, Souftraction, Multiplication & Divifion en fractions ci-après, où il fera fouvent néceffaire de prouver l'égalité des deux fractions. 95 La réduction de la fraction 2 ci-deffus fe peut faire d'une autre façon, ainfi que je l'ai dit ci-devant; il faut divifer le dénominateur 144 par le numérateur 96, viendra 1 au quotient, & reftera 48: & fans avoir égard au quotient, il faut divifer le divileur 96 par le refte qui eft 48, viendra 2 au quotient, & ne refte rien; d'où s'enfuit que 96 & 144 fe peuvent divifer chacun par 48 dernier divifeur : tellement que divifant 96 par 48, il vient 2: divifant auffi 144 par le même 48, il vient 3; puis pofant les deux quotiens 2 & 3 l'un fur l'autre, vient égaux à 2 comme ci-dessus. 2 96 144 Avertiffement fur la Réduction des Fractions. Il arrive fouvent que, quoique les nombres qui |