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exprimées par les parties de l'unité, & qu'on peut appliquer à nombrer quelque chole que ce soit: comme les parties d'un fel, d'une livre, d'une aune, &c.

Les Fractions vulgaires sont les parties de quelque entier qui est dans usage , comme 4 fols, qui font le cinquième de 20 sols, ou 2 pieds , qui est le tiers de la toise, ainsi des autres.

La Fraction Arithmétique, qui est celle de laquelle j'entens parler dans ce Traité, vient ensuite d'une Division , ou bien elle est proposée selon qu'il eft besoin dans quelque opération, & s'écrit par deux nombres que l'on écrit l’un sous l'autre, & une ligne entre deux, comme qui signifient trois quarts, desquels celui de dessus est appeile Numérateur , qui dénote les parties de l'entier , & celui qui est defious eft appellé Dénominateur , qui montre en coinbien de parties l’entier est divisé, comme il se voit par la démonstration qui fuit. 3 Numérateur.

ou 3 entiers à diviser par 4. Dénominateur. De même į qui signifient trois septièmes parties telles que le tout eft divisé en 7, 3

livres, 3 écus , 3 pistoles à diviser par 7.

Les Fractions. se peuvent rencontrer en trois dive ses façons, ou lorsque le Numérateur est plus. grand que le Dénominateur, on lorsqu'il est égal, ou plus petit.

Si le Numérateur est plus grand que le DénomiDateur , la Fraction vaut plus que l'entier , comme qui font plus que l'entier d'un quart:

S'il est égal, la fraction vaut juste l'entier , commed

Enfin si le Numérateur est plus petit que le Déu nominateur, la Fraction vaut moins que l'entier comme; ainsi des autres. Il faut remarquer que le Dénominateur en fraction

}

comme

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& 12 par

reprétente toujours l'entier, tellement que quand la fraction fera grande , comme ? pour sçavoir combien ce sont d'entiers, il faut diviser le Numérateur 77 par

le Dénominateur 8, & il viendra 9 au quotient, c'est-à-dire

9

entiers : & restera 5 à diviser par 8 c'est-à-dire , & le tout fera 9 entiers & parties de telle chose que l'on voudra diviser , soit d'écus , de livres, de toises, de perches , &c. Mais en matières de fractions, & de tant que l'on en voudra, il n'y a que le dernier Dénominateur qui vaille un entier; comme si on demande quels sont les de de d'un écu de 60 fols, on multipliera les Numérateurs 2, 3 & 5 entr'eux l’un par l'autre, fçavoir 2 par 3 vient 6, & 6 par 5 vient 30 que l'on pofera pour Numérateur , ensuite l'on multipliera les Dénominateurs 3 , 4 & 6 continuement, fçavoir 3 par 4 viendra 12,

6 viendra

72,
, que

l'on posera pour Dénominateur au-dessous de 30 , & la fraction fera parties d'un écu: Quant à l'évaluation des fractions, j'en parlerai ci-après.

Ayant dit ces choses de la Fraction arithmétique il convient de passer à l'explication des quatre Regles, d’Addition, de Soustraction, Multiphication & Division ayant préalablement fait voir quelques réductions, qui servent auxdites Regles, lesquelles réductions font spécifiées ci-dessous. 1. Réduire une grande fraction à

moindre. 2. Réduire des entiers en une fracton de telle dénomination

que

l'on voudra. 3. Etant donné entiers & fraction, réduire tout en

une même fraction. 4. Etant donné une fraction de laquelle le Numéra

teur foit plus grand que le Dénominateur,

la réduire en entiers & fraction s'il y échet. 3. Etant donné deux ou plus de fractions, les réduire

en même, dénomination.

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une

Première Réduction, E Tant donné une grande fraction , la réduire en

Réduire à moindre dénomination, c'est trouver de plus petits nombres que ceux par lesquels la fraction proposée est exprimée , & qui fassent la même valeur , puisque les nombres qui sont en même raison font les fractions égales , & quäl est plus facile d'opérer par une petite fraction que par une grande: Par exemple, i font égaux à auxquels il lont réduits, comme vous le verrez ci-après pour la Règle,

Pour opérer en cette réduction, l'une est tâtonneuse à ceux qui ne connoissent pas la puissance des nombres, mais prompte à ceux qui la connoiffent : l'autre est par une doctrine certaine & infaillible , je les expliquerai toutes deux.

Exemple. Soit proposée la fraction iî à réduire à plus petite dénomination.

Il faut trouver un nombre par lequel on puisse diviser le Numérateur 9, & le Dénominateur 12 en même-tems fans reste.

Pour faire cette réduction, je trouve que 3 peut servir de diviseur à 9 & à 12; car prenant le tiers de 9, vient

3; prenant aussi le tiers de 12 , vient 4 , que je pose l'un sous l'autre en fraction , & ce sont égaux à i, ainsi des autres.

Mais si les nombres de la fraction proposée font fi grands,

, que l'on ne les puiffe pas réduire tout d'un coup à la plus petite dénomination requise, comme dans l'exemple ci-dessous ; alors on le servira de plufieurs divisions continuées, comme dans l'exem. ple suivant.

w

Exemple. La fraction est proposée à réduire à plus pea tite dénomination, je regarde par quel nombre je pourrai diviser le numérateur & le dénominateur en même-tems, exactement, sans reste, comme par 2,3,4,6, &c. enfin par quelque nombre que je le puiffe faire, pourvu qu'il ne reste rien.

La première division étant faite de deux quotiens , j'en forme une autre fraction; puis je confidère fi le numérateur & le dénominateur de cette feconde fraction peuvent être encore divisés par un même nombre sans refte : Cette seconde division faite des quotiens, j'en forme encore une autre fraction , & ainfi de suite , jusqu'à ce que j'aie trouvé une fraction de laquelle le numérateur & le dénominateur ne puissent plus être divisés par un même nombre; car alors ce sera la plus petite dénomination requise.

Construction de la réduction de 1 à plus petits nombres.

Pour la faire , je divise 96 par 4, il vient 24; je divise aussı 144 par 4, il vient 36, c'est-à-dire

Je divise encore 24 par 4, il vient 6, & 36 auili
par 4, il vient 9, & ce sont.
Enfin je divise 6 par 3,

&
9

aussi par 3, il vient 3, c'est-à-dire ; pour les plus petits nombres faisant une fraction égale à 144, comme il se voit ci-defious par l'opération.

25 égaux à 44 Preuve de la Reducion d'une grande fraction à une

plus petite qui lui foit érze. Pour preuve qu'une grande fraction est égale à une petite , en laquelle elle est réduite, ou qu'une petite est égale à une grande.

Il faut toujours diviter le numérateur de la grande fraction par le numérateur de la petite, viendra un nombre.

24

il vient 2,

on

cha

Il faut aufli diviser le dénominateur de la grande fraction par le dénominateur de la petite , & viendra le même nombre.

Comme dans l'exemple de 144 que nous avons réduits à ý, li on divise 96 par 2, viendra 48.

Si on divise pareillement 144 par 3, viendra 48 comme dessus, ce qui dénote l'égalité qu'il y a entre 4& ; ainsi des autres , & c'est la preuve.

Pour faire mieux connoître la raison de la preuve ci-dessus de la réduction de , je dirai que le même quotient qui se trouve en divisant 96 par 2, & 144 par 3, est la même chose

que
si

vouloit diviser 96 livres à 144 personnes, parce que cune auroit autant pour sa part que fi on vouloit partager 2 livres à trois personnes ; sçavoir 13 Cols 4 den. qui sont les deux tiers de 20,& partant on doit s'assurer que la preuve ci-dessus est générale & infaillible

, pour voir s'il y a égalité de valeur entre deux fractions, dont l'une est connue , & l'autre ne Vest pas , comme

il se verra dans les Regles d’Addition, Soustraction, Multiplication & Division en fractions ci-après, où il sera souvent nécessaire de prouver l'égalité des deux fractions.

La réduction de la fraction en ci-dessus se peut faire d'une autre façon , ainsi que je l'ai dit ci-devanı; il faut diviser le dénominateur 144 par

le mérateur 96, viendra i au quotient, & restera 48 : & sans avoir égard au quotient, il faut diviser le diviseur 96 par le reste qui eft 48, viendra 2 au quotient, & ne reste rien; d'où s'ensuit que 96 & 144. se peuvent diviser chacun par 48 dernier diviseur : teileinent que divisant 96 par 48, il vient 2 : divifant ausü 144 par le même 48, il vient 3; puis po-, sant les deux quotiens. 2 & 3 l’un sur l'autre , vient

comme ci-dessus. Avertisinent sur la Réduction des Fractions. I arrive souvent que , quoique les nombres qui

nu

2 égaux à

144

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