DE LA DIVISION.

Quatrième Régle.

Définition. Divifer un nombre, c'est le féparer en autant de parties égales qu'il y a d'unités au diviseur.

N propofe de divifer un nombre par un autre ; fçavoir 72 pat 6, le quotient de cette divifion donnera 12, qui fait connoitre que dans le nombre 72, il y a fix fois 12, & par conféquent autant de fois 12 qu'il y a d'unités dans le diviseur 6.

Pour faire cette Règle avec les Jetons, il faut pla cer l'échelle de Numération, comme il a été pratiqué aux Règles précédentes, & mettre le nombre à divifer à main gauche, fuivant le rang qu'il doit tenir felon l'ordre de ladite échelle,& propofer le divifeur, qu'on écrira à part, ou qu'on retiendra dans fa mémoire.

On mettra toujours le produit de la Division qu'on nomme quotient, à la main droite de l'échelle. Par exemple, on veut divifer 111м IXC XX, il faut les pofer comme vous voyez à l'exemple de la Figure XIII.

La pofition étant faite, il faut commencer à divifer par les Jetons qui font pofés au plus haut degré de l'échelle, qui expriment le nombre propofé.

Dans la pratique de cette Règle, il faut remar quer, pour principe général, que tous les Jetons fur quelque degré de l'échelle qu'ils foient pofés, excepté fur celui du nombre, qui n'a plus de degré au-deffous de lui, font autant de dixaines à l'égard des Nombres ou Jetons qui font le plus près & audeffous d'eux, comme cela fe peut remarquer à la Exemple.

Figure XII. où les trois Jetons qui font pofés fur le rang des milles, valent par cette raifon trois dixaines ou trente, qu'on lève d'abord, & enfuite le Jeton qui eft deffous lefdits trois Jetons, qui vaut cinq, cela fait donc ensemble trente-cinq, qu'il faut diverfer par trente-cinq: On dira en trente-cinq combien de fois eft contenu le divifeur trente-cinq;

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on remarque qu'il n'y eft qu'une fois ; il faut pofer à main droite un Jeton pour quotient au degré inférieur où les cinq Jetons qu'on vient de lever étoient, c'eft-à-dire fur le rang des centaines. Il faut enfuite venir aux quatre Jetons qui font fur le degré des centaines, qui valent quarante, par rapport à fon degré inférieur, qu'il faut divifer par le diviseur trente-cinq, difant : En quarante il y a une fois trente-cinq, & cinq de plus; on lève donc les quatre Jetons ou quarante, & on pose un Jeton au quotient à main droite, un degré plus bas que les quatre Jetons qui étoient pofés qu'on vient de lever, c'est-àdire, fur le degré des dixaines.

Enfin, pour les cinq qui reftent des quarante, qui /valent cinq dixaines, par rapport à leur fupériorité, qu'ils ont aux deux dixaines, il faut les joindre avec les deux Jetons qui font fur le degré des dixaines du nombre à divifer, qui font ensemble sept dixaines, qu'il faut divifer par trente-cinq; on dit donc : En foixante & dix combien y a-t-il de fois trentecinq? Ils y font deux fois, il faut lever les deux Jetons & les cinq reftans retenus du refte des quarante, & pofer deux Jetons au quotient fur le degré des nombres; la Règle étant faite, on trouve au quotient cent douze, de telles espèces qu'il vous plaira, hommes, livres, piftoles, écus, &c.

On trouvera beaucoup de facilité à faire cette Règle, quand on aura bien compris la valeur des Jetons, comme il vient d'être expliqué dans la Règle précédente; la principale chofe qu'il faut faire, c'eft de lever votre diviseur, du nombre à divife autant de fois qu'il pourra l'être, & de pofer ce nombre de fois fur le degré du dernier caractère du divifeur, comme vous voyez à la Règle ci-dessus. Ce qu'il faudra obferver dans toutes les autres opérations pour la pofition du quotient à l'égard du divifeur. Il reste affez fouvent à la fin des Divifions quel

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que nombre des livres, qu'il faut réduire en fols, en fe fervant des Règles de réduction, qui ont été données ci-devant, & ce nombre de fols reftans doit être divifé par le même diviseur qui a divifé les livres, & le quotient donnera des fols.

Et s'il refte des fols à la fin de la Divifion des fols, il faudra les réduire en deniers, en les multipliant par douze, & leur produit le diviser par le même divifeur, qui a divifé les livres. Si après cette réduction, il reste encore quelque nombre de deniers qui ne fe puiffe divifer, ce fera une fraction; cela eft expliqué fort clairement dans l'Arithmétique à la plume.

Utilité de la Divifion.

Par cette Règle, on peut connoître quelle quantité il faut d'une petite efpèce pour en faire une plus grande; c'eft ce qui eft nommé réduction: Par exemple, on veut réduire deux cens cinquante-deux deniers en fols, il faut les divifer par douze deniers, le quotient donnera vingt-un fols.

Cela fe peut faire encore autrement : il n'y a qu'à prendre le tiers du quart defdites deux cens cinquan te-deux deniers, & on aura pareillement vingt-un fols.

Si on veut réduire des fols en livres, il faut prendre la moitié du total des fols, à la réferve de ce qui eft devant le Jeton de l'Arbre qui repréfente le nombre des livres felon le lieu auquel elles fe rencontreront, & à ces livres il faudra joindre les fols qui feront vis-à-vis du Jeton de l'Arbre qui repréfente le nombre.

Il faudra faire la même chofe quand on voudra réduire de petites efpèces en de plus grandes, comme fi on veut réduire des pouces en pieds, il faudra divifer par douze ; des pieds en toifes, par fix, &c. Pour ce qui concerne toutes les autres Règles d'Arithmétique, comme la Règle de Trois fimple

508 L'Arithmétique par les Jetons.

ou compofée, la Règle de Société, & quelques autres qui dépendent de l'Addition, Souftraction, Multiplication & Divifion, elles fe feront par le moyen de toutes les Règles qui ont été enfeignées ci-devant.

Par exemple, dans une Règle de Trois, fi on difoit, fi trente-deux hommes gagnent foixante-huit livres, on veut fçavoir combien quatre-vingt en gagneront, il faudra multiplier les quatre-vingt par foixante-huit, le produit donnera cinq mille quatre cens quarante, qui étant divifés par trente-deux, il viendra cent foixante-dix pour le gain des quatrevingt hommes, ainfi des autres.

Si dans le premier terme il y avoit une fraction, comme au nombre trente-deux, s'il y avoit un demi, il faudroit doubler les trente-deux, & y ajouter un le tout feroit foixante-cinq demi; il faudroit auffi doubler les quatre-vingt, qui feront cent foixante; enfuite de quoi faire la Règle comme elle l'a été cideffus.

Enfin, il eft bon de remarquer que dans toutes les manières, dont on s'eft fervi pour faire les Règles d'Addition, Souftraction, Multiplication & Divifion avec les Jetons, il y a une parfaite conformité avec celles qui fe font avec la plume, comme on le peut voir dans le Traité d'Arithmétique qui précéde celui des Jetons, où toutes les maximes y font femblables, & dont on peut facilement s'éclaircir, en cas de doute; & je dirai, en finiffant ce Traité, que quoiqu'il paroiffe fuccint & abregé, il n'a pas donné moins de peine à le mettre dans l'état où vous le voyez, que s'il avoit été plus ample; parce que dans fon racourci j'y ai mis toutes les explications qui auroient été néceffaires dans le contenu d'un plus grand volumé.

FIN.