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gée, il faut feulement demander combien de fois le premier caractère du divifeur qui eft 3, eft contenu & voyant qu'il y eft 4 fois, il faut pofer 4 au quotient, puis multiplier le quotient 4 par le diviseur 32, difant: 4 fois 3 font 12, qu'il faut ôter de 13, refte 1, que l'on écrira fur le 3 de 13: enfuite 4 fois 2 font 8, qu'il faut ôter de 8 & refte o, que l'on pofera au-dessus du 8, observant de barrer ou trancher les figures, tant du divifeur que du nombre à divifer, à mesure qu'elles font acquittées.

Pour feconde opération, il faut avancer le diviseur 32 d'un degré, fçavoir 3 sous 8, & 2 fous la figure d'après, comme ci-deffous.

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(43

Le divifeur étant ainfi avancé, on cherchera combien il y a de fois 3 dans 10, on voit qu'il 3 y eft 3 fois, eft 3 fois, c'est pourquoi il faut pofer 3 au quotient enfuite du 4 déja pofé, puis multiplier le même divifeur 32 par ce quo

fois 3

étant

tient qui eft 3 comme auparavant, difant: 3 font 9 ôtez de 10 reste 1, qui vaudra 10, joint au 2 fuivant, & ce feront 12, puis dire, 3 fois 2 font 6, qui de 12 ôte 6 reste 6.

Enfin il faut avancer le divifeur 32, fous le nombre 64 reftant, fçavoir le 3 fous le 6, & le 2 fous le 4, & achever l'opération comme ci-deffous.

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13824

ZZZZ

33

(432

Le diviseur étant ainfi pofé, comme il fe voit ci à-côté, on parachevera la Division, difant comme ci-deffus: En 6 combien de fois 3, il y eft 2 fois, on pofera 2 au quotient, puis on dira: : 2 fois 3 font 6, ôtez de 6 il ne refte rien, puis 2 fois 2 font 4, ôtez ce 4 refte rien, & ainfi le quotient eft 432; on obfervera le même dans les autres Divifions.

Autre Exemple de Divifion, dont le Divifeur eft compofé de trois figures.

Et s'il y avoit davantage de figures au diviseur, il faudroit obferver le même ordre; par exemple s'il étoit question de divifer 6754 à 357 perfonnes, pour fçavoir combien il appartient à chacun.

Ayant difpofé la fomme à divifer ci- deffus, & pofé le divifeur au- -deffous, comme il fe voit ciaprès, on dira: en 675 combien de fois 357, du plutôt, en 6 combien de fois 3; on fçait qu'il y eft 2 fois naturellement; mais auparavant que d'écrire le 2 au quotient, il faut raifonner en foi-même, difant: fi je multiplie ce 2 par le 3 du diviseur, il viendra 6 & ne reftera rien; de plus, fi je multiplie le du divifeur par le même 2 pofé au quotient, il 5 viendra 10, & il n'y a que 7 de refte au-deffus; par conféquent c'est trop de pofer 2, on écrira donc I au quotient, comme il fe voit par l'opération, puis multipliant le quotient par le diviseur, on dira: une fois 3-eft 3, ôtez de 9, refte 3 que l'on pofera fur le 6; puis, une fois 5 eft 5,

I

328

6784

(I

357

ôtez de 7 refte 2 que l'on écrira audeffus de 7; pareillement une fois 7 eft 7, ôtez de 5 qui eft au-deffus e 7, cela ne fe peut, on empruntera une dixaine fur le 2 de la colomne prochaine à main gauche, laquelle dixaine jointe avec le 5 ce feront 15, puis on dira: qui de 15 ôte 7 refte 8, que l'on écrira fur le 5, & parce que l'on a emprunté 1 de 2, ce même 2 eft réduit à 1, que l'on écrira au-deffus de 2.

Enfuite on avancera le diviseur d'une figure à l'égard du divifeur premierement pofé, puis on dira: en 3184 combien de fois 357; mais d'autant qu'il eft trop difficile de le dire par jugement à caufe du grand nombre, pour aider la mémoire & faciliter la

connoiffance du quotient, on dira: en 31 combien de fois 3, on voit que naturellement il y eft 10 fois ; mais comme on ne peut mettre au quotient que 9, fuppofant donc 9 dans fon efprit, ou le pofant à l'écart, fans l'écrire au quotient, jufqu'à ce que l'on aitexaminé s'il y peut entrer; on multipliera la première figure du diviseur qui eft 3, par ce 9 fuppofé, il viendra 27 au produit, qui ôtez de 31, refte 4 à écrire fur 1 de 31, on continuera de multiplier la feconde figure du divifeur 5 par le quotient 9, difant: 9 fois 5 font 45, qui ôtés de 48, refte 3 écrire fur 8. Enfin on dira, 9 fois 7 font 63, qui ne peuvent être ôtés de 34 qui reftent, & partant on voit que c'est trop de mettre 9, parce que 9 357 divifeur, font plus qu 3184 reftant à divifer; on pofera donc moins, c'est-à-dire 8, & encore faut-il voir s'il y entrera par l'ordre ci-deffus expliqué, & opérant*

Seconde & derniere opération.

fois

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*Ainfi qu'il vient d'être enfeigné, il viendra 18 pour véritable quotient de la Division, & reftera 328 de telle chofe que l'on aura divifée, qu'il fauau-defdra écrire fur une ligne, & le divifeur 357 fous, & ce refte eft appellé Fraction, de laquelle il fera parlé ci-après dans le Traité des Fractions ou bien lorfque je traiterai de la Divifion par livres,

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fols & deniers, où je rapporterai ce même exemple. Preuve de la Divifion.

La Division auffi bien que les trois autres Règles précédentes, fe prouvent en deux façons ; fçavoir, par la preuve de 9, & par la Multiplication qui eft fon contraire & la plus assurée.

Et premièrement de la preuve par 9.

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La preuve de la Division se fait ainfi. Après avoir fait une croix on commencera à compter par le divifeur comme dans la Règle ci-deffus, où le divifeur eft 357, & dire 3 & 5 font 8, &7 font 15; defquels rejettant 9, le refte eft 6 que l'on écrit au haut de la croix, de-là on paffe au quotient qui eft 18, difant: 1 & 8 font 9, dont la preuve eft zero, qui fera pofé au bas de la même croix, puis il faut multiplier les deux preuves l'une par l'autre, difant : 6 fois zero c'eft zero: Il faut remarquer que s'il n'y avoit rien de refte à la Division, il faudroit écrire zero au bras gauche de ladite croix: Mais à cause qu'il y a 328 de refte à la Divifion, il en faut tirer la preuve, & le furplus de 9 fe trouve 4, que l'on doit écrire audit bras gauche de la croix au lieu du obfervant toujours de rechercher le reste de la Divifion, s'il y en a, pour en tirer la preuve. Enfin il faut tirer la preuve de 6754 nombre à diviser, & le furplus de 9 eft 4, qu'il faut écrire à l'autre bras de la croix; & comme les deux reftes du bras gauche & du bras droit de la croix fe trouvent égaux, la Division est estimée bien faite, comme il fe voit par l'opération ci-dessus. On fera de même pour la preuve par 9 des autres Divisions en nombres entiers.

zero,

De la preuve de la Divifion par la Multiplication. Pour faire la preuve de la Division ci-deffus, & généralement de toutes les Divifions, il faut multiplier le quotient d'icelle par le diviseur, ou le divifeur par le quotient indifféremment, & ajoutant le

refte de la Divifion, s'il y en a, la fomme viendra égale au nombre à diviser fi la Règle eft bien faite ; fi elle vient autrement, la Règle eft fauffe.

par

Opération de la preuve de la Divifion ci-dessus. 357 divifeur à multiplier.

18 quotient.

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Produit 6754 qui eft le nombre que l'on a divifé, & c'est la preuve. Ainfi des autres.

Preuve de la Multiplication en nombres entiers par la Divifion.

Ayant fait la Multiplication ci deffous, il faut divifer le produit d'icelle par le nombre à multiplier, & il viendra au quotient le multiplicateur.

Ou fi on divife le produit par le multiplicateur, il viendra au quotient le nombre à multiplier, comme il fe voit par les opérations fuivantes, tant de Multiplication que de Divifion.

Exemple de la Multiplication.
On veut multiplier 706 par 57.
Opération.

Nombre à multiplier. 706 *
Multiplicateur. 57

Produit

**

*

40242

4942

( 57 preuve

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40242

Cette Règle de Multiplication a été opérée page 34 & je l'ai répétée ici pour en faire voir la preuve.

Deuxième

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