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Avertisement pour la Multiplication & Divifion par livres, fols & deniers.

Comme la Multiplication par les parties aliquotes, tant de 20 fols que de 12 deniers, comme auffi par les parties du marc, de la toife, &c. ne fe peut clairement expliquer fans l'intelligence de la Divifion, parce que multiplier un nombre par une partie aliquote de quelque entier, comme par 5 fols, qui eft le quart de 20 fols; c'est autant que de divifer ce même nombre par 4 " ou par 6., fi la partie aliquote eft un fixième, ou par telle autre nombre que l'on voudra; ainfi la division des mêmes entiers & de leurs parties ne fe peut prouver par la Multiplication, fans aucune connoiffance réciproque d'icelle en toute fon étendue, tant en entiers qu'en fractions. C'eft pourquoi pour trouver un milieu & faciliter la connoiffance de tous les deux, je me contenterai ici de ce que je viens de dire touchant la Multiplication en nombres entiers , renvoyant pour le furplus aux pages fuivantes, où je commencerai d'expliquer la Multiplication par les parties aliquotes fur laquelle je m'étendrai beaucoup, comme étant la Règle la plus néceffaire & la plus ufitée dans le Commerce, & en quelque façon celle que j'eftime la plus difficile à entendre entre les communes, pour la diverfité des propofitions qui fe peuvent former fur icelles touchant la finance & la marchandise.

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Pour la Divifion en nombres entiers, j'expliquerai feulement ci après comment il faut la faire; fans donner l'explication d'icelle, vous la trouverez amplement pratiquée fous le titre de Divifion par livres, fols & deniers, & autres fous-efpèces, appliquée à quantité de queftions concernant auffi les finances & la marchandise.

DIVISION, IVe REG LE.

A

Vant que de commencer l'explication de cette

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ner un avertiffement du deffein que j'ai pris touchant la méthode de divifer pour toutes les opérations de Divifion qui fe trouveront à faire dans toute l'étendue de mon Arithmétique, je vous dirai même, que comme les Livres fe trouvent entre les mains de différentes perfonnes, il faudroit qu'ils fuflent compofés différemment, particulièrement à l'égard de la Divifion; ainfi par cette raifon de plaire à un chacun, les uns voulant chiffrer ou divifer à la Françoife, les autres à l'Espagnole, d'autres à l'Italienne, afin de contenter les curieux particulièrement ceux qui aiment la diverfité; après avoir expliqué la Divifion à la Françoife, je vous expliquerai enfuite fuccintement la Divifion à l'Efpagnole, puis après celle à l'Italienne, lefquelles trois manières de divifer produifent un même effet. Et pour fatisfaire davantage votre curiofité, & vous faire voir la différence de ces trois méthodes de divifer, vous verrez enfuite un exemple de Divifion en nombres entiers, pratiqué premièrement à la Françoife, puis après à l'Espagnole, & enfuite à l'Italienne; d'où vous connoîtrez la différence qu'il y a entre ces trois méthodes, defquelles vous choifirez celle qui vous agréera le plus, après les avoir expliquées toutes trois. Et d'autant que je prouve que la Division à l'Espagnole eft la plus facile à pratiquer, comme je l'éprouve ordinairement par l'expérience que j'en fais tous les jours, je m'en fervirai dans toutes les propofitions où il fera befoin de fe fervir de la Divifion.

Définition de la Divifion.

Divifer ou partager, c'eft féparer un nombre en autant de parties égales qu'il y a d'unités au divifeur.

Ou autrement, divifer un nombre par un autre c'eft chercher combien de fois le divifeur eft contenu dans le nombre à divifer.

Cette Règle contient trois nombres de différente dénomination. Le premier defquels s'appelle dividende, ou nombre à divifer; le fecond s'appelle divifeur; & le troifième que l'on cherche s'appelle quotient, qui eft le résultat de la Règle.

Comme fi on vouloit divifer 36 livres à quatre perfonnes, c'eft féparer 36 livres en 4 parties égales, l'une defquelles eft 9; & ainfi, 36 fera appellé nombre à divifer, 4 le divifeur, & 9 le quotient, & il ne refte rien, parce que 9 fois 4 font 36 jufte.

Cette Règle au contraire des trois précédentes fe commence à main gauche, & finit en continuant à la droite; elle fe fait ainfi : il faut difpofer le nombre à divifer, & fous icelui écrire le diviseur, & former un demi cercle au devant en cette forte. Somme à divifer 36

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Autre Exemple.

Je veux divifer 8785 par 5, j'écris 5 divifeur fous 8 premier caractere du nombre à divifer vers la main gauche; mais il faut remarquer que fi au lieu de 8 il y avoit 4, il eût fallu mettre le divifeur 5 fous le 7 fuivant: ce que l'on obfervera en toute autre Divifion.

Il faut encore remarquer qu'autant de fois que l'on pofe le divifeur, ce font autant d'opérations de la Divifion que l'on fait, & partant il y aura autant de figures au quotient.

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38985

*

Première opération.

Ayant ainfi difpofé les nombres, il faut s'enquérir combien (1 il y a de fois 5 dans 8, on trouve qu'il eft 1 fois, que l'on écrira au bout de la fomme à divifer & au-devant du demi- cercle, puis on multipliera le quotient par le divifeur, difant 1 fois 5 eft 5, ôter du 8 refte 3, qu'il faut écrire fur 8.

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I

Pour feconde opération, il faut avancer le 5 diviseur fous le 7 fuivant du nombre à diviser. Seconde opération.

32
8785

88

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Enfuite on prendra le 3 ref

tant pour 30 avec le 7 fuivant (17 font 37; puis on dira, en 37 combien de fois 5, il s'y trouve 7 fois, que l'on écrira au quotient enfuite de 1 déja pofé; puis multipliant le quotient par le divifeur, on dira 7 fois 5 font 35, ôtez de 37 refte 2, que l'on écrira au-deffus du 7.

On continuera d'avancer le divifeur fous chacun des caractères du nombre à diviser & opérer comme deffus, ainfi qu'il fe voit par l'opération entière de la Règle, & il viendra pour quotient 1757 livres, c'eft-à-dire, que fi on vouloit partager 8785 livres às perfonnes, chacun auroit pour fa part 1757 5

livres.

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ou par 6, &c.

Il faut remarquer que cette manière de divifer tout au long par une figure, n'eft qu'à l'égard de ceux qui commencent d'apprendre la Division; car

pour ceux qui font tant foit peu verfés dans icelle, & qui la fçavent, s'ils divifent quelque nombre par une feule figure, comme par 2, ils n'ont qu'à tirer la moitié de ce nombre, & cette moitié fera le quotient, s'ils divifent par 3 ils tireront le tiers, par 4 le quart, &c.

Ávant que de continuer l'explication de la Divifion, il est néceffaire de faire quelques obfervations fur icelle.

1. D'avancer le diviseur lorsque la première figure du nombre à diviser sera moindre que la première figure du divifeur.

2. D'avancer le diviseur d'un dégré autant de fois que chaque opération fera achevée, foit qu'il foit compofé de 2, 3, ou plus de figures, & opérer felon l'explication ci-devant.

3. Que le quotient de chaque opération ne peut être 10 ni plus, mais feulement 9 & au-deffous; parce que de tous les élémens des nombres, 9 eft le plus grand.

4. Il faut que le refte d'une Divifion, s'il y en a, foit toujours moindre que le divifeur, autrement la Division est mal faite, & c'eft une marque que l'on n'a pas affez pofé au quotient; c'est pourquoi il faut recommencer la Divifion.

Autre Exemple de Divifion, dont le divifeur eft

compofé de deux figures.

Quand le divifeur eft de deux figures, comme fi on vouloit divifer 13824 livres à 32 perfonnes, il faut pofer le diviseur 32 au-deffous de 13824 nombre à divifer, en avançant d'un dégré le diviseur 32, comme il se voit par l'opération.

ΙΟ

73824

32

Les nombres étant ainfi difpofés, il faut demander combien de fois le divifeur 32 eft contenu dans le nom(4 bre fupérieur 13824; mais parce

que la mémoire feroit trop furchar

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