Preuve de l'extraction de la racine cubique. Pour preuve, il faut quarrer la racine, ou plu fieurs, s'il y en a, & multiplier le produit par la racine même, ce dernier produit donnera le nombre propofé duquel on a fait l'extraction, s'il ne reste rien; mais s'il refte quelque chofe, comme en l'exemple ci-deffous, il le faudra ajouter & on trouvera juftement le compte. Ayant fait l'extraction cideffus, il eft venu 33 pour racine cubique, & refte 3741 que je rapporte à la preuve, comme il a été dit ci-deffus, & la fomme de l'addition des deniers produits fe trouve égale au nombre propofé, & c'est la preuve. Preuve. Preuve * 39678 Autre preuve par 9. Quoique la preuve de l'extraction de la racine cubique par 9 foit extraordinaire, & que jufqu'ici je ne l'aye point vue expliquée dans aucun Auteur, néanmoins j'ai voulu enfeigner par curiofité; elle fe fait ainfi : Il faut tirer la preuve de la racine 33, il vient 6 qu'il faut pofer au haut de la croix. Enfuite il faut cuber ce même 6 & fon cube eft 216, dont la preuve eft zero, qu'il faut écrire à côté gauche de la croix. Puis il faut tirer la preuve du refte qui est 3741, il vient 6 de refte que je pofe à main droite de la croix. Cela fait, j'ajoute le 6 dernier pofé avec le zero; la fomme eft 6 que j'écris au bas de la croix. Enfin je tire la preuve de 39678 nombre propofé, il vient auffi 6 égal au 6 dernier trouvé, & partant y aura deux figures au bas de la croix, qui doivent être égales, autrement la Règle feroit fauffe, comme il fe voit par la pratique. 39678 nombre propofé. Autre Exemple. 6 66 Ayant tiré la racine cubique d'un nombre non cube, fçavoir ce qu'il faut ajouter à icelui pour les rendre parfaitement cube, & partant augmenter fa racine d'une unité, comme dans l'exemple ci-deffous de 188 propofés, dont la racine cubique eft 5, & refte 63. Il faut prendre le triple du quarré de la racine, il viendra 75, il faut encore tripler la racine 5, il viendra 15, & y ajouter 1, font 16 qu'il faut écrire fous 75, & ajoutant le tout la femme fera 91; puis de 91 ôtant 63, qui eft le refte de l'extraction, le refte 28 fera le nombre à ajouter pour le rendre parfaitement cube, & la racine, au lieu qu'elle étoit 5, fera 6, comme il fe voit par les opérations. *91 +216 216 (6 racine. Les 91 ci-deffus peuvent être auffi pris pour dénominate ur d'une fraction que l'on écrira fous une ligne, & 63 qui eft le refte, feront le numérateur de ladite fraction, que l'on écrira fur la même ligne, & ainfi la racine de 188 fera 5 entiers & au plus près. Ce que l'on obfervera pour le refte de toutes les extractions cubiques. Il faut remarquer qu'en faifant l'extraction cubique d'un nombre propofé il refte 1 après l'extraction faite, cette unité fera le numérateur d'une fraction, parce que 1 eft un nombre cube & quarré, & le triple du quarré de la racine fera le dénominateur de ladite fraction. Comme fi on difoit, la racine cubique de 28 eft 3, & refte ; ayant écrit cette unité fur une ligne, on voit que le triple du quarré de 3 eft 27, qu'il faut écrire fous la même ligne, & partant le refte de l'extraction, qui eft 1, fera partie de tel entier que l'on voudra. 27 Autre Exemple. On veut tirer la racine cubique d'entiers & fractions comme de 15. Il faut réduire 15 en 12, puis tirant la racine cubique de 125, il viendra 5 pour racine; tirant auffi la racine de 8, il viendra 2, & écrivant 5 fur 2, ce feront ou 2 pour la racine de 151, & c'eft la réponse. I Pour preuve, cubez il viendra 15; ce qui fe fait ainfi, difant: 5 fois 5 font 25, & 5 fois 25 font 125. Enfuite 2 fois 2 font 4, & 2 fois 4 font 8, puis écrivant 125 fur 8, ce font 12 égaux à 15, comme veut la question. Autre Exemple. Tirer la racine cubique d'une fraction radicale, comme de 22. 27 Il faut tirer la racine cubique de 27, il viendra 3. Il faut auffi tirer la racine de 64, il viendra 4, & ce feront pour racine cubique de Autre Exemple. 27 Etant donné une fraction irradicale comme pour en trouver la racine cubique. P vj 348 L'Arithmétique en ja perfection. Il faut quarrer 7, il vient 49, qu'il faut multiplier par 5, le produit eft 245, dont la racine cubique eft 6 & refte 29 pour numérateur, & le dénominateur fera 127; ce feront donc 6.1 qu'il faut divifer par 7 ; & le quotient fera pour la racine cubique des à fort peu près. ainfi des autres. 791 889 Question fur la racine cubique. Il y a une terraffe rectangulaire folide, laquelle contient 5832000000 pieds cubes, de laquelle la longueur contient 6 fois la hauteur, & la hauteur 6 fois l'épaiffeur, on demande combien la longueur, la hauteur & l'épaiffeur. Je pofe que l'épaiffeur foit un pied, & felon la Règle des rectangles, la hauteur fera 6 pieds, & la longueur 36, lefquels multipliés l'un par l'autre, le produit donnera 216 pieds cubes, & on devoit trouver 5832000000; c'eft pourquoi la pofition eft fauffe: Mais fi je divife le tout par 216, le quotient donnera 27000000, defquels la racine cubique eft 300 pieds pour l'épaiffeur, lefquels multipliés par 6, le produit fera 1800 pour la hauteur, qu'il faut encore multiplier par 6, & on aura au produit 10800 pour preuve, fi vous multipliez ces trois produits l'un par l'autre, le dernier produit donnera 5832000000 pieds cubes, comme veut la Règle. Quoique la racine cubique ne ferve en rien aux chofes qui concernent le commerce des hommes, & que ce n'eft qu'une fubtilité de Géométrie; néanmoins j'ai jugé à propos d'en expliquer amplement le précepte avec toutes ces circonstances, afın que ceux qui en auront befoin pour la résolution de plufieurs queftions que l'on verra ci-après enfuite du Traité du Toifé, puiffent y avoir recours, autrement ils auroient grande peine de fortir des difficul tés qui fe rencontrent ordinairement dans les propo fitions concernant la Géométrie. Fin de l'Arithmétique. |