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leur de tous les sépr termes , il faut diviser 4096 moins i par 3 , il viendra 1365 qu'il faut ajouter aux mêmes 4096, & il viendra 5461 pour la somme des lept termes proposés. Ainsi des autres.

DE L'EXTRACTION

De la Racine quarrée.

L

A racine quarrée doit êrre considérée comme

une mesure parfaite ou égale en deux dimenfions, sçavoir , longueur & largeur.

D'où s'enfuit qu'ayant trouvé la superficie d'une figure très-irrégulière , qui ait autant de côtés que l'on voudra, si on veut la rendre dans un quarrée parfait où toute ladite fuperficie soit comprise , il faut prendre la surperficie de ladite pièce, suivant les Règles que j'enseignerai dans mon Traité de l'Arpentage ci-après ; puis ayant trouvé que la superficie de la pièce de terre contient 64 toises ou perches quarrées, de ce produit j'en tirerai la racine quarrée qui sera 8; cela fait , je dis que pour faire un quarré égal à cette fusdite pièce irrégulière , il faut qu'il ait huit toises de chaque côté.

Pour l'intelligence de ce que ci-dessus , il faut sçavoir que quand on dit quarrer un nombre, c'est le multiplier par soi-même , & réciproquement que tout nombre multiplié par soi-même, produit un quarré, comme 3 multiplié par 3 font 9, 8 par 8 font 64, & réciproquement ces deux nombres 3 & 8 font appellés racines des quarrés 9 & 64 ; ainsi des autres. Pour mieux faire entendre cela , j'ai dressé la Table ci-dessous des quarrés & de leurs racines jusqu'à 100.

1...

I

Racines.
3 4 ... 5 ... 6 ... 7

8 ... 9 ... 10 Quarrées. 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Par le moyen de cette Table, on peut facilement extraire la racine quarrée de tous les nombres qui font au-dessous de 100, parce qu'ils sont compris dans icelle ; comme si on demande la racine quarrée de 49, on trouvera que c'est7, car 7 fois 7 font 49 nombre quarré.

Mais si l'on ne trouve pas quelque nombre exactement dans l'ordre des quarrés, on prendra le prochain moindre ; comme si on vouloit extraire la racine quarrée de 69, on prendra 64 , qui est le prochain quarré au-dessous de 69 , dont la racine est

pour nombre entier; le reste qui efts, fera une fraction dont il sera parlé page 333.

Mais, si le nombre duquel on veut extraire la raci.. ne quarrée est plus que 100, par exemple, 73964, il faut opérer en cette forte.

Ayant posé le nombre dont il est question, & formé un 3 demi cercle au-devant d'ice- 5. 39. 64: ( 2 lui, pour poser le quotient comme à la division, 'il faut 2 séparer les figures de deux en deux avec un point, commençant à la première figure vers la main droite , & finissant à gauche ; comme en cet exemple, le dernier point tombe sur le 7 qui est à main gauche ; on dira donc pour commencer, la racine quarrée de 7 eft 2, qu'il faut écrire au quotient , & aussi sous le 7 si l'on veut, puis dire 2 fois 2 font 4, lesquels ôtés de 7 refte 3 , que l'on écrira au-dessus du 7, barrant en même-tems le 7 & le 2 aussi qui est au dessous , comme à la division.

Ensuite pour trouver un diviseur, il faut doubler la racine 2 qui est venu au quotient , il viendra 4

33,

49,

reste zero, 3

IO

32,

qu'il faut mettre au-dessous de mais en avançant d'une figure comme à la division, puis dire en 33 combien de fois 4, je trouve qu'il y est 7 fois,

lequel 7 étant écrit au quotient ensuite de 2 déja poté, il le faut aussi écrire pour diviseur fous le 9, puis on dira 7 fois 7 font Ôtez de

492 & retient 4, puis conti- 5. 39. 64 : ( 27 nuant7 fois 4 font 28,& 4 que j'ai retenu, font 2 47 - Ôtez de 33 , restera i que j'écris au-dessus de 3.

Maintenant pour trouver un second diviseur , il faur doubler les deux racines 27, disant : 2 fois 7 font 14, je pose 4 sous 6, & retiens 1 ; ensuite je dis 2 fois 2 font 4, & i que j'ai retenu font 5., que j'écris sous 7 vis-à-vis du zero ; puis je dis, en 10 combien de fois 5 , je trouve qu'il n'y peut être qu'une fois , que j'écris au quotient: ayant posé i au quotient, on l'écrira aussi pour diviseur sous 4, première figure à main droite, & continuant comme à la division, on dira une fois i est 1, Ôtez de 4 qui sont dessus , reste 3 qu'il faut écrire sur 4 ; puis 3 10 23 une fois 4 eft 4, ötez de 6, 7. 39.6% reste 2 qu'il faut écrire desfus 6; puis 1 fois 5 est s, lef- 2 47 42 quels ôtés de 10, reste pour & 5, qu'il faut écrire sur le zero; le tout comme il se voit par les opérations ci-dessus. L'opération étant ainsi achevée, on trouve que

la racine en nombres entiers est 271, & qu'il reste 523, dont il sera parlé ci-après.

Preuve de l'extraction de la racine quarrée. Pour preuve, il faut multiplier 271 par eux-mê. mes, & ajouter à leur produit le reste de l'extrace

( 271

tion qui est 523 , la somme des produits sera 73964, qui est le nombre duquel on a tiré la racine quarrée ; & s'il ne reste rien, on ajoutera tout simplement les produits, la somme donnera le nombre requis : Ce que l'on observera généralement pour la preuve de la racine quarrée.

Opération de la preuve.

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73964 Autre Preuve de la racine quarrée par 9. Comme la preuve de la racine quarrée par 9 a été jusqu'à présent négligée, parce qu'elle n'est pas de grande utilité, & par cette raison que les Auteurs, qui ont traité de l'Arithmétique , n'ont pas voulu le donner la peine de l'expliquer , je n'en parlerai que fort legèrement & comme par curiosité, afin de témoigner au Lecteur que je n'ai voulu rien omettre de ce que j'ai jugé lui devoir donner quelque satisfaction.

Je proposerai donc la question suivante, pour mettre en pratique ladite preuve.

On veut extraire la racine quarrée de 67895, R. 260 , & reste 295.

8
6. 78. 95
(260

X

7 2.46. 20

88 S

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2

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Ayant trouvé que la racine du nombre ci-dessus eft 260, & qu'il rette 295 , je pose une croix, comme on a coutume, en faisant cette même

preuve

de

9 aux Règles d'Addition , Soustraction, &c. puis je tire la preuve de 260, je trouve que c'est 8 que je pose au haut de ladite croix : Ensuite je quarre 8, font 64, dont la preuve eft i, que je pose au bras gauche de la même croix.

Cela fait, je tire la preuve de 295 restés, il vient 7 que je pose au bras droit de la croix; puis j'ajoute 7 & i qui sont au deux bras de la croix, il vient 8, que je pose au bas de ladite croix : Enfin je tire la preuve de 67895, il vient aufli 8 égal au dernier 8 trouvé, que je pose auprès d'icelui , 8c c'est la preuve. S'il n'y avoit point en de reste, au lieu de 7 il faudroit écrire zero, le reste fe doit sous-entendre.

Remarque. Comme le nombre ci-dessus proposé n'est pas quarré, puisqu'il reste 295 , fi cn le vouloit rendre parfaitement quarré, & par conséquent avoir 261

pour

racine sans reste, iu lieu de 260, on demande combien il y faudroit ajouter ; il faut doubler la racine 260, plus 1, il viendra 521, & de 521 soustrayant 295, le reste fera 226 qu'il faut ajouter au nombre 65895 ci-dessus proposé, il viendra pour somme 68121, dont la racine quarrée est 261.

Mais si au lieu d'augmenter la racine, on vouloit exprimer en fractions le reste de l'extraction ci-dersus , il faut doubler la racine 260, plus i, comme ci-devant, il viendra 521 pour dénominateur, posant 295 qui est le reste , pour numérateur , & la fraction sera , comme il se voit par l'opération que je commence ci-après.

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