Différences. Première pofition 15 moins 33 Ayant ainfi rangé les deux pofitions & les deux différences, il faut multiplier en croix la première pofition par la différence de la feconde, & réciproquement la feconde pofition par la différence de la premiere, & des deux produits qui feront 54 & 225 il en faut prendre la différence, qui fera 369, qui fera le nombre à divifer. Il faut auffi ôter la petite différence 15 de la grande différence 33, le refte fera 18 pour divifeur. Divifant donc 369 par 18, il viendra 20 au quotient pour la part du premier & par conféquent le deuxième en aura 33, & le troifième 46, lefquels trois nombres joints enfemble, font jufte les 100 livres propofées, & c'eft la preu ve, comme il fe voit par l'opération suivante: Multiplications. Produits. Différences. On gardera le même ordre que ci - deffus, lorsque les différences feront toutes deux plus ou deux moins. toutes Autre Opération de la même Queflion, dans laquelle il y a plus & moins de difference. Que le premier en prenne 30, donc puifque le fe cond en doit prendre deux fois autant que le premier moins 8, il en aura 52 & le troifième trois fois autant que le premier moins 15, il en aura 75, la fomme de tous les trois eft 30, 52 & 75, qui font enfemble 157, & ils ne doivent faire que 100, partant il faut mettre pour première pofition 30, plus 57, d'autant que nous avons excédé la condition de 57. Maintenant pofons que le premier ait 15, puifque le fecond doit avoir le double du premier moins 8, il aura 22; le troifième ayant le triple du premier moins 15, aura 30, lefquels trois nombres 15, 22 & 30 ne font que 67, qui font moins de 100 de 33, il y aura donc 33 moins de différence: Et pour avoir la folution, fi on multiplie l'excès 57 par 15, il viendra 855, & le defaut 33 par 30, il viendra 990, lefquels deux produits mis enfemble font 1845, qui feront divifés par 90 qui eft la fomme des erreurs, 57 & 33, & le quotient fera 20 pour la part du premier; la part des deux autres fe trouvera comme ci-devant. 30 plus Opération de la Règle. 15 moins 855 Autre Question. Trois hommes fe trouvent ensemble par rencontre, & s'entretenant de leur âge, l'un d'eux dit, tel a quatre ans plus que moi, & cet autre a autant d'âge que nous deux, & tous trois nous avons 148. ans fçavoir quel âge ils avoient chacun. Pour réfoudre cette queftion felon les préceptes ci-devant donnés, il faut fuppofer que le premier eût 20 ans, le second en auroit donc 24 & le troifième 44, qui font en tout 88 ans,, qui font 60 moins que le nombre que l'on cherche, puifqu'ils avoient tous trois 148 ans; on écrira donc 20 moins 60 différence pour la première pofition. Pour feconde pofition on prendra 24 pour le prem. Le fecond aura donc Et le troifième 28 52 lefquels trois nombres font 104, & devroient faire 148, on a donc erré par moins de 44, c'eft pourquoi on pofera la feconde hypothèse 24 avec la différence 44, comme il fe voit. 20 moins 60 24 moins 44 Puis faifant les multiplications & fouftractions, comine il a été enfeigné, il viendra 560 pour nombre à diviser, & 16 pour divifeur: Enfin faifant la divifion, il viendra 35 ans pour l'âge du premier: Le refte eft facile. DES PROGRESSIONS. LE Es Progreffions font Arithmétiques, Géométriques & Harmoniques. Pour l'Harmonique, d'autant que l'ouie eft l'arbitre coutumier de la Mufique, elle fert fort rarement à l'Arithmétique. Les deux autres Progreffions, fçavoir, l'Arithmétique & la Géométrique font en ufage. L De la Progreffion Arithmétique. A Progreffion Arithmétique naturelle n'est autre chofe qu'une fuite de nombre fe furmontant l'un l'autre naturellement par égale différence : comme 1, 2, 3, 4, 5, &c. ou 2, 4, 6, 8, &c. ou 3, 6, 9, 12, &c. Toute Progreffion Arithmétique eft appellée naturelle, lorfque l'excès eft femblable au premier nombre, comme dans les trois exemples ci-deffus: Si les excès du premier au fecond, du fecond au troisième, &c. font égaux, cette Progreffion s'appellera Progreffion Arithmétique continue, mais fi l'excès ou la différence du premier au deuxième est égale à celle du troifième au quatrième, & ainfi de deux en deux fans confidérer les inter-moyens, elle s'appellera Progreffion Arithmétique discontinue, comme il fe voir ci-deffous. 17. 5 ... 8... 1 1 ... 20 continue 13 14 difcontinue. En toutes Progreffions Arithmétiques, foit continue ou difcontinue, quand les termes font en nombre pair, la fomme des termes eft égale à la fomme des inter-moyens également diftans des extrêmes, comme l'exemple ci-après le démontre. Exemple. Pour avoir la fomme de tous les termes d'une Progreffion Arithmétique continue, il faut ajouter le premier & le dernier enfemble, & multiplier la fomme la moitié du nombre des termes, par le pro duit donnera la fomine de tous les nombres. 4 6 8 Exemple. ΙΟ 12 14 16 18 On voit que la fomme des deux extrêmes est 22, & la multitude des termes eft 8, dont la moitié est 4; multipliant donc 22 par 4, le produit fera 88 pour la fomme de tous les termes. de On pourroir former fur ce fujet une question telle: Un Marchand a vendu 150 aunes d'étoffe, à condition que de la première aune il recevra 1 livre, la deuxième 2 liv. & de la troifième 3 fiv. & toujours en augmentant d'une livre, felon la naturelle Progreffion jufqu'à la dernière aune; on demande combien doit recevoir le Marchand. Pour faire cette Règle, ajoutez le premier terme I avec 150 dernier terme, la fomme fera 151, qu'il faut multiplier par 75, moitié de 150, & le produit donnera 11325 liv. pour la valeur defdites 150 aunes. Preuve. La preuve fe doit faire par une autre question oppofée, difant: Un Marchand a vendu un certain nombre d'aunes d'étoffe 11325 liv. il a donné la première aune pour 1 livre, la deuxième pour 2 livres, & la troisième pour 3 liv. & toujours en augmentant d'une livre jufqu'à la dernière aune; on demande combien il a vendu d'aunes. |