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RÈGLE DE FAUSSE POSITION.

Avertiffement.

Omme il y a quantité de queftions à faire fur les

CRègles de fauffe pofition, tant fimple que dou

ble, fur les progreffions Arithmétiques & Géométriques, comme auffi fur les racines quarrée & cubique, je me contenterai de donner l'explication des Préceptes avec quelques Exemples, pour en faire voir les Opérations, renvoyant pour les queftions au Questionnaire, que j'efpère donner à la fin de mon Livre.

L'ufage de la Règle de fauffe pofition est de trouver une chofe requife par une fuppofition autre que la vérité, participant néanmoins aux conditions de la chofe demandée. Cette Règle eft double, fimple, ou composée.

La Règle de fauffe pofition fimple fe réfoud ordinairement par une feule Règle de trois, & en voici un Exemple.

On veut trouver un nombre duquel la moitié, le tiers & le quart faffent 52: La fiction de la Règle est de dire: Ce nombre peut être quelque nombre de la nature de ceux qui contiennent moitié, tiers & quart: On en prend un de ceux-là, quel qu'il foit, comme 12, dont la moitié eft 6, le tiers 4, & le quart 3, lefquelles parties de moitié, tiers & quart étant ajoutées, font 13? & nous cherchons 52, la vérité pas partant ce n'eft le nombre 12 foit que celui que nous demandons. Pour donc trouver le vé ritable nombre, il faut former une Règle de Trois, difant:

Si 13 viennent de 12, d'où viendronr 52, nom

bre propofé. Faifant la Règle felon le précepte, il viendra 48 pour le nombre que l'on cherche, comme il fe voit par l'opération.

12 nombre fuppofé

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requis. Preuve 52 nombre propofé.

Il faut remarquer que les nombres les plus petits que l'on peut trouver, font les meilleurs pour l'opé ration, pourvu qu'ils fe puiffent divifer par les dénominateurs fans refte, comme ce nombre 12 ci-deffus. Autre Exemple.

I

Mais s'il étoit question de trouver un nombre duquel & faffent 64, d'autant qu'il n'eft pas facile de trouver à tâtons un nombre qui ait ces partieslà, alors il faut confidérer le nombre qui dénote, la partie que l'on demande, comme 5 dénote le cinquième, 7 le feptième, 8 le huitième ; cela fuppofé, fi je veux trouver un nombre qui contienne cinquième, feptième & huitième, je multiplie de fuite les dénominateurs 5, 7 & 8 l'un par l'autre, & je trouve au produit 280, qui eft un nombre, lequel fe peut divifer par 5, par 7 & par 8, puifque 5, 7 & 8 l'ont produit, & fera dénominateur commun à toutes les fractions. Si donc on tire le cinquième de 280, il viendra 56, le feptième de 280 fera 40, & le huitième des mêmes fera 35, lefquelles trois parties étant ajoutées, feront 131, & devoient faire 64, par conféquent 280 n'eft pas le nombre que l'on cherche, donc pour le trouver il faut dire par Règle de Trois:

Si 131 viennent de 280, d'où viendront 64: Faifant l'opération, il viendra 13611.

Partant, je dis que 136 eft le nombre defiré. Pour preuve, il faut tirer le cinquième, le feptième & le huitième de 136, & ajoutant les parties, il viendra jufte 64.

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Autre Question fur la Règle de fauffe pofition.

Quatre Marchands ont à partager entr'eux la fomme de 500 livres, à telle condition que le premier aura pour fa part les de tout l'argent, & le fecond la moitié, le troifième le tiers, & le quatrième le quart; on demande combien ils auront chacun.

Pour réfoudre cette queftion, il faut prendre un nombre à plaifir le plus petit que l'on puiffe, qui ait les parties requifes, comme 12, dont les font 9, la eft 6, leeft 4, & le eft 3; lefquelles parties ajoutées enfemble, font 22, & doivent faire 500; maintenant il n'y a plus qu'à faire une fimple Règle de Trois, difant:

Ši 22 viennent de 12, d'où viendront 500? R. 272 pour le nombre que l'on cherche. Pour preuve, fi l'on prend les de 27279, comme auffi &, le tour ajouté fera 500 liv.comme fe voit par l'opération de la preuve.

nombre défiré.

272

204

136 #

90

liv. pour le premier.
pour le fecond.

Preuve 500 livres.

pour le troifième.
pour le quatrième.

Règle de deux fauffes pofitions.

A Règle de deux fauffes pofitions eft ainfi appellée, parce qu'au moyen de deux nombres pris à plaifir (que nous appellons faux) nous découvrons le véritable que nous cherchons.

Dans cette manière, il faut feindre, premièrement, un nombre, & avec icelui pourfuivre la queftion propofée, comme fi c'étoit un vrai nombre conçu en icelle; & fi à la fin on ne parvient pas au but que l'on prétend, il faut écrire le nombre fuppofé avec fa différence de plus ou de moins.

Enfuite il faut fuppofèr un autre nombre avec lequel on répète un femblable difcours que ci-deífus, & fi ce nombre ne fe trouve pas ainfi que le nombre défiré, il faut écrire ce fecond nombre au-deffous du premier, avec fa différence de plus ou de moins, comme ci-deffus, puis multipliant le nombre de la première propofition par la différence de la feconde, il viendra un produit qu'il faut mettre à part; multipliant auffi le deuxième nombre pris à plaifir par la première différence, il viendra un autre produit qu'il faut encore écrire à part.

Cela fait, il faut confidérer fi les deux différences font femblables ou diffemblables; fi elles font femblables, c'est-à-dire, toutes deux plus, ou toutes deux moins, il faut ôter le moindre produit du plus grand, & la moindre différence de la plus grande; puis divifer ce qui reflera des produits par ce qui

reftera des différences, & le quotient fera le nombre inconnu que l'on cherche.

Mais fi les deux différences font diffemblables, c'eftà-dire, que l'une foit notée de plus, & l'autre de moins, ou au contraire, il faut ajouter les deux produits, & femblablement les deux différences, puis divifant la fomme des produits par celle des différences, le quotient de la divifion donnera le nombre inconnu que l'on cherche comme ci-deffus, d'où s'enfuit la Règle fuivante qu'il faut obferver, fçavoir que Le plus de plus, & moins de moins qu'on vient fouftraire,

Mais plus & moins, ou moins & plus, c'eft le com

traire.

Exemple.

Un homme donne par teftament 100 livres à trois perfonnes, à telle condition que le premier en prenne une partie, le fecond deux fois autant que le premier moins 8, & le troisième trois fois autant que le premier moins 15, fçavoir combien ils auront chacun.

Pofons que le premier en prenne 15, partant le fecond en prendra 22, & le troisième en prendra 30, lefquels trois nombres étant ajoutés enfemble font 67, il devroit venir 100, partant nous connoiffons que le premier nombre pris à plaifir eft trop petit, & qu'il y a 33 moins, qui eft la différence de 67 à 100; nous poferons donc notre nombre 15 avec fa différence 33.

Enfuite il faut faire une autre position, feignant que le premier doive prendre 18, & par conféquent le fecond 28, & le troifième 39; mais ces trois nombres étant joints enfemble, ne font que 85, il devroit venir 100, il y a donc 15 moins de différence, partant nous poferons le nombre de notre feconde pofition, qui eft 18, fous la première pofition 15, & la feconde différence 15 au-deffous de la première différence 33 : comme il fe voit.

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