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à caufe de l'emprunt, je dis : Qui de 8 paye 5 refte 3: Enfuite de quoi je paffe à la colomne E, difant : Qui de zero paye 4, cela ne fe peut, j'emprunte une dixaine fur le 5 de la colomne H; puis je dis : Qui de 10 paye 4,

refte 6.

Enfuite à caufe que l'emprunt a été fait derrière le zero de la colomne G, ce même zero vaut 9; ję dis donc: Qui de 9 paye zero ou rien, refte 9 que j'écris.

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Continuant, je compte le zero de la colomne G pour 9 auffi-bien que le zero de la colomne F, &je dis: Qui de 9 paye 6, refte 3. Enfin, paffant au 5 de la colomne H, réduit à 4 à caufe de l'emprunt, je dis: Qui de 4 paye 1, refte 3, d'où je conclus qu'il refte à payer 33963503. C'est tout ce qui fe peut dire pour l'art de fouftraire les nombres entiers, ou fimples espèces, les uns des autres.

Preuve de Soustraction par l'Addition.

Comme l'Addition précédente fe prouve par fon contraire, qui eft la Soustraction; de même il faut prouver la Souftraction par fon contraire, qui est l'Addition.

Exemple.

Quelqu'un doit 30020 livres, & il en paye Comptant 12739 livres, on demande ce qu'il doit

de refte.

Faites l'opération de la Souftraction fuivan te comme il vient d'être enfeigné.

Dette

30020 iiv.

Paye

12789.

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Pour faire la preuve de cette Souftraction, & généralement de toutes les autres, il faut ajouter la paye avec le reste à payer, & la fomme de l'Addition doit être égale à la dette: c'est la preuve. Le même ordre doit s'obferver pour la preuve de la Souftraction, foit qu'il y ait des livres, fols & deniers à fouftraire des livres, fols & deniers, ou autres espèces, comme marcs, onces, gros, &c. à fouftraire de marcs, onces, gros, &c. comme auffi toises, pieds, pouces à fouftraire de toifes, pieds, pouces.

,

Si les deux fommes, c'eft-à-dire la dette & la paye, ou une des deux feulement, la dette ou la paye font compofées de quelques fous-efpèces, comme de livres, fols & deniers, on commencera à fouftraire les deniers les uns des autres, s'il fe peut, & des deniers on paffera aux fols, que l'on fouftraira de même les uns des autres.

On remarquera que quand on emprunte pour les deniers, l'emprunt doit être toujours d'un fol, que l'on doit compter pour 12 deniers, qu'il faut joindre aux deniers, foit qu'il y ait des fols à la colomne des fols ou non; & l'emprunt pour les fols eft toujours d'une livre ou 20 fols, que l'on prend fur la première figure fignificative des livres; on operera au furplus pour les entiers, coinme il vient d'être enfeigné ci-devant.

Exemple de Soustraction par livres, fols & deniers.

Dette 427 livres 15 fols 9 deniers.

Paye 195

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Autre Exemple de Souflraction, où il faudra emprunter fur les fols pour les deniers, & fur les livres

pour les fols.

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Explication de la Règle de Souflraction ci-deffus, & de la preuve par 9.

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Ayant difpofé la Règle; fçavoir, la paye fous la dette, il faut dire : Qui de 5 deniers paye 7 deniers cela ne fe peut, j'emprunte 1 fol fur les deux fols de la dette, qui vant 12 deniers, avec 5 font 17 puis je dis: Qui de 17 deniers paye 7 deniers, reste 10 deniers, que j'écris fous la ligne en la colomne des deniers.

Enfuite paffant aux fols, il faut dire: Qui d'un fol qui refte en paye 9, cela ne fe peut, j'emprunte une livre fur les 8 livres de la dette, qui vaut 20 fols avec un refté font 21; puis je dis : Qui de 21 fols paye 9 fols, refte 12 fols, que j'écris fous la ligne en la colomne des fols.

Je continue aux livres, difant: Qui de 7 livres qui reftent paye 5, refte 2 livres; puis qui de 7 paye 3, refte 4 livres, & l'opération ainfi achevée, il fe trouve pour refte à payer 42 livres 12 fols io deniers, comme il fe voit ci-deffus; ainfi des autres.

La preuve fe fait par l'Addition, comme il a été enfeigné ci-deffus aux nombres entiers; fçavoir en ajoutant 35 livres 9 fols 7 deniers, qui eft la paye, avec 42 livres 12 fols 10 deniers, qui eft le refte, lefquelles deux fommes font jufte une fomme égale à la dette : c'est la preuve.

Preuve par y de la même Règle de Soustraction

9

ci-deffus.

Comme j'ai expliqué la preuve par 9 en l'Addition, j'ai jugé à propos de l'expliquer auffi en la Souftraction.

Elle fe fait ainfi : Il faut tirer la preuve de la dette; fçavoir, en rejettant tous les 9 qui fe rencontrent & doublant le furplus de 9 aux livres pour le porter aux fols, & triplant le furplus de 9 aux fols pour le porter aux deniers, & tirant la preuve des deniers il faut écrire fur une petite ligne le furplus de 9, comme en l'exemple ci-deffus, où il s'eft trouvé 2.

Cela fait, il faut tirer la preuve de la paye & du refte confufément, en doublant de même aux livres le furplus de 9 pour paffer aux fols, triplant aux fols pour paffer aux deniers, où l'on doit trouver 2 pour preuve, comme à la dette, fi la Règle eft bien faite, d'autant que la paye & le refte compofant par leur Addition pareille fomme à la dette elles doivent auffi produire même nombre pour la

preuve.

Avertiffement.

S'il arrive qu'en l'ordre des fols & deniers de la dette il n'y ait que des zeros, & qu'il y ait des fols & des deniers à la paye, alors on empruntera une livre fur le premier caractère fignificatif des livres & de cette livre valant 20 fols, on en prendra i fol qui vaut 12 deniers, & reftera 19 fols au rang des fols , que l'on gardera dans la mémoire, ou que l'on écrira, puis on fera la Souftraction à l'ordinaire, comme il fe voit ci-deffous.

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Exemple de la Soustraction de la livre de poids. Quelqu'un a acheté 32 livres de fucre, & on lui en a livré 13 liv. 12 onces 7 gros; on demande ce qui reste à lui livrer.

Acheté

Livré

Reste à livrer

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Opérations.

32 livres o onces o gros,

13

12

7

18 livres 3 onces I gros. Il faut noter qu'en faifant la Souftraction de l'autre part, fi on emprunte un gros fur les livres, par cet emprunt il faut faire valoir le zero des onces 15 onces.

Exemple de S.uftraction du marc.

Quelqu'un a acheté 24 marcs de vaiffelle d'argent, & on lui en a fourni 17 marcs 3 onces 5 gros & I denier, on demande ce qui lui eft dû de refte.

Acheté

Livré

Refte à livrer

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6 marcs 4 onces 2 gros 2 deniers. Si on emprunte pour les deniers fur les marcs, alors au lieu du zero des onces on comptera 7 onces au lieu du zero des gros on comptera 7 gros, & pour les deniers l'emprunt vaudra 3 deniers.

Exemple de la Soustraction de la Toife.

Un Entrepreneur a entrepris de faire 14 toifes 2 pieds 3 lignes de travail, dont il a fait 7 toifes 5

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