il doit venir des livres au quatrième que l'on cherche, comme fi on disoit: Si 24 aunes d'étoffe coûtent 36 livres, on demande combien coûteront 48 aunes au même prix. Les termes étant difpofés comme ci-deffous, il faut multiplier le troisième terme par le deuxième, fçavoir 48 par 36, ou au contraire le deuxième par le troifième, qui eft la même chofe, & divifant le produit de la Multiplication, qui fera 1728 par le premier terme qui eft 24, le quotient de la Divifion donnera 72 livres par le quatrième terme proportionel inconnu que l'on cherche, qui eft la valeur de 48 aunes; ainfi des autres. Si Opération. 24 aunes 361. combien 48 aunes, R. 72 I. Queflion fur la Règle de Trois, avec l'explication de la preuve enfuite. On a acepté 45 aunes d'étoffe qui ont coûté 135 livres, on demande combien on aura d'aunes pour 225 livres à la même raison. Vous voyez, felon cette difpofition, que le remier nombre & le trofième ne font pas de même nom; c'est pourquoi il faut ainfi former la Règle de Trois, difant: Si pour 135 livres j'ai eu 45 aunes de drap, combien aurai-je d'aunes pour 225 1. La Règle étant ainfi difpofée, multipliez comme il vient d'être dit, le troifième terme 225 par le deuxième 45, il viendra au produit 10125, qu'il faut divifer par le premier nombre 135, & le quo tient donnera pour les 225 1. Si 75, c'est-à-dire Opération. 75 aunes que l'on aura 135 livres 45 aunes combien 225 livres. R. 75 aunes. Pour faire la preuve de cette Règle, & généralement de toutes les autres, on fera une feconde Règle de Trois contraire à la précédente, en feignant d'ignorer combien on aura d'aunes de drap pour 135 livres, difant : Si pour 225 livres j'ai eu 75 aunes de drap, combien aurai-je d'aunes pour 135 l Ayant difpofé la Règle de Trois comme ci-def fus, multipliez le troifième terme par le deuxième, fçavoir 135 par 75, comme il a été enseigné, il viendra 10125 au produit qu'il faut divifer par 225 premier terme, & le quotient donnera 45 aunes pour 135 1. comme il a été propofé. Opération. Si 225 livres 75 aunes, combien 135 livres. R. 45 aunes 75 ainfi, difant: Si 45 aunes coûtent 135 1. combien 75. R. 225 liv. Elle fe peut encore prouver ainfi : Si 75 aunes coûtent 225 liv. combien 45 aunes. 135 liv. comme ci-devant. Il eft certain, par cette démonstration, qu'une Règle de Trois fe prouve en autant de façons qu'elle a , de termes. Avertiffement fur la preuve de la Règle de Trois. Comme dans la Règle de Trois il arrive affez fouvent que faifant la Divifion du produit par le premier terme, il refte quelques livres ou autres efpeces à divifer, dont il faut faire la réduction en moindres efpeces, pour en faire encore la Division, après avoir multiplié le troifième terme par le deuxième, ou au contraire je trouve à propos, avant que de paffer à la Divifion qu'il convient de faire enfuite de prouver cette Multiplication ce qui fe fait en divifant le produit d'icelle par l'un des deux nombres, & viendra l'autre, c'eft-à-dire, que fi on divife le produit par le troifième terme de la Règle de Trois, le quotient donnera le deuxième, ou fi on divife par le deuxième, le quotient donnera le troifième, & c'eft la preuve. La raifon pourquoi il eft à propos de prouver la Multiplication, c'eft que fi elle étoit fauffe, & que l'on divisât le produit d'icelle par le premier terme felon le précepte de la Règle de Trois, la Divifion & toutes les autres opérations que l'on feroit, feroient fauffes; au lieu que la inultiplication étant prouvée, fi on fait la Division enfuite pour trouver le quatrième terme de la Règle de Trois, on est feulement obligé de prouver la Divifion tout fimplement, en multipliant le quotient d'icelle de telle efpece qu'il eft par le divifeur, pour trouver le produit ou le nombre qui a été divifé, en ajoutant le refte de la Divifion, s'il y en a, comme il fe verra dans la Règle de Trois fuivante, dont je ferai l'opération toute entière avec la preuve au pied. Autre Queflion fur la Règle de Trois, 77 aunes de marchandise ont coûté 356 liv. on demande combien coûteront 98 aunes au même prix. Si 77 Opération. aunes 356 liv. 98 aunes. Preuve de la 98 multiplication. * 2848 3204 34888 Produit. ୭୫୫୫ 77 Ayant fait la Divifion ci-deffus, il est venu 453 livres 1 fols 9 deniers pour la valeur des 98 aunes, & refte 63 deniers par-deffus le tout, que l'on rapportera à la preuve, Preuve de la Règle de Trois ci-dessus. D'autant que la Multiplication ci-devant a été prouvée, il n'y a qu'à prouver la divifion du produit qui eft 34888 par le premier terine qui eft 77, fçavoir en multipliant le quotient 453 liv. 1 fol 9 deniers par le divifeur 77, il viendra au produit de la Multiplication le nombre à divifer, qui eft 34888 livres, en ajoutant les 63 deniers reftés de la Divifion des deniers. Ayant fait la Multiplication, fon produit eft venu égal au nombre à divifer, & c'est la preuve. On pourroit prouver la même Règle d'une autre façon, fçavoir par une autre Règle de Trois, comme il a été enfeigné, difant: Si 98 aunes coûtent 453 livres 1 fol 9 deniers, combien couteront 77 aunes. La Règle étant ainfi difpofée, fi on multiplie 77 troisième terme, par 453 liv. 1 fol 9 den. deuxième terme, & que l'on ajoute le refte de la Divifion des deniers, qui eft 63 den. il viendra au produit 34888 que l'on divifera par 98 pour avoir 356 liv. pour la valeur des 77 aunes, comme veut la question, & c'est la preuve. Ces deux manières font générales pour la preuve des Règles de Trois fimples, directes où inverses. J'A Abréviation pour la Règle de Trois. 'Ai dit ci-devant que le premier nombre d'une Règle de Trois eft pareille partie du deuxième que le troisième l'eft du quatrième, ainfi il fe trou |