R. 489 l. 12 f. R. 187 l. 4 f. R. 262 l. 12 f. 6 d. Ayant ainfi fait toutes les Multiplications, on fera addition des produits, & la fomme totale de l'addition féra la valeur des trois pièces d'étoffes, comme il fe voit ci-après.

Addition des produits ci-deffus.

489 liv. 12 fols.

6 den.

pour la

Somme totale 939 liv. 8 fols

valeur des trois pièces d'étoffes fufdites.

Bordereau de payement par Division.

Voyez ci-après page 150.

Ceux qui auront bien confidéré tout ce que j'ai expliqué ci-deffus touchant la Multiplication, n'auront pas de peine à réfoudre toutes les queftions propofées, où il fera befoin de fe fervir de la Multiplication pour les réfoudre, c'eft pourquoi je n'en traiterai pas davantage, & pafferai à la Divifion par livres, fols & deniers.

Divifion par livres, fols & deniers.

Uelques-uns fe formaliferont peut-être de l'ordre que j'ai gardé jufqu'ici, en ce que j'ai expliqué la Multiplication & Divifion par livres fols & deniers féparément de la Multiplication & Divifion en nombres entiers; mais fi on confidere que dans les Multiplications & Divifions des fousefpèces, comme de l'aune, de la toife, comme auffi du marc & de leurs parties, &c. il arrive fouvent qu'il faut mettre en pratique les nombres rompus; on verra que j'ai dû entremêler le Traité des Fractions Arithmétiques, & l'expliquer enfuite des quatre opérations d'Addition, Sonftraction, Mutiplication & Divifion en entiers, fans lefquelles on ne peut parvenir à la connoiffance des mêmes quatre opérations en Fractions; outre que la vraie preuve d'une Multiplication par livres, fols & deniers foit d'aunes ou toifes entieres, même en fractions, ne fe peut faire que par la Divifion, comme je le ferai voir ci-après dans les queftions fuivantes fur la Divifion, qui ferviront de preuve aux Multiplications précédentes cotées chacune en fon endroit.

Pour l'opération de la Divifion des livres, fols & deniers, il n'y a rien à obferver outre ce qui a été expliqué pour la Divifion des entiers ci-devant, finon que fi on divife les livres, & qu'à la fin de la Divifion il en refte quelque nombre, ce refte eft compté pour autant de livres qu'il faut réduire en fols, en les multipliant par 20, & les fols qui en proviendront, feront divifés par le même divifeur des livres, s'il fe peut. Et fi après la Divifion des fols il reste quelque nombre de fols qui ne fe puiffe divifer, on les réduira en deniers, en les multipliant

par 12, & les deniers qui en proviendront, feront divifés de même par le divifeur commun des livres & des fols; & s'il refte encore quelque nombre de deniers, il les faut rapporter à la preuve, après les avoir réduits en livres, fols & deniers, s'il y échet; ou bien s'il eft befoin de procéder encore à une subdivifion, on réduira ces deniers reftans en oboles pour être divifés de même que les livres, fols & deniers.

Pour l'intelligence de ce qui eft dit ci-dessus, ferai la queftion fuivante.

je

Il y a 9548 livrès à partager également entre 365 perfonnes, on demande combien chacun aura pour La part.

Divifez 9548 livres par 365, il viendra au quotient des Divifions 26 livres 3 fols 2 deniers pour la part de chacun, & il reftera 50 deniers, qui valent 4 fols 2 deniers par-deffus le tout que l'on rappor tera à la preuve.

Opération.
5

༨

225

9848

1160

780.

(26 I.

(3 f.

(2 den.

780 d.

་ ་

3X3

ད

1160 f.

Ayant fait les Divifions, il eft venu 26 liv, 3 fols 2 den. pour la part de chacun, & il refte 50 deniers qu'il faut rapporter à la preuve.

Preuve de la Divifion ci-deffus, par 9.

Comme j'ai prouvé par la preuve de 9 les règles ci-devant d'Addition, Souftraction & Muliplicaz

tion

par livres, fols & deniers, je me trouve obligé de prouver la Divifion par livres, fols & deniers par la même preuve de 9.

Elle fe fait ainfi : Il faut faire une croix en quelque part, puis tirer la preuve du divifeur 365, il vient 5, qu'il faut écrire au haut de la croix.

3

Enfuite il faut tirer la preuve du quotient 26 liv: fols 2 deniers, en doublant aux livres & triplant aux fols, comme il a été enfeigné ci-devant page 14, il viendra auffi 5 que l'on pofera au bas de la

croix.

Enfuite il faut multiplier les deux preuves l'une par l'autre, fçavoir 5 par 5, il viendra 25, dont la preuve eft 7, auxquels j'ajoute les 5 des 50 deniers reftés, il vient 12, dont la preuve eft 3, qu'il faut écrire à côté de la croix.

Enfin il faut tirer la preuve du nombre à divifer 9548, il vient 8, que je double à caufe qu'il y a li vres & fols au quotient, il vient 16, dont la preuve eft 7, que je triple à caufe qu'il y a auffi deniers au quotient, il vient 21, dont la preuve eft 3, comme il eft requis.

Et fi au nombre à divifer il y avoit livres, fols & deniers, il faudroit obferver le même ordre de dou bler aux livres, & tripler aux fols pour en tirer la preuve.

Preuve de la même Divifion ci-deffus

par Multiplication.

J'ai enfeigné ci-devant que la Divifion fe prouve par la Multiplication, & qu'il faut toujours multiplier le quotient par le divifeur pour trouver le nom bre à divifer, en ajoutant au produit le reste de la Divifion, s'il y en a.

La raifon eft générale pour toutes les Divifions, foit que la Divifion foit de nombres entiers seulement, ou de livres, fols & deniers.

Tellement que fi on veut prouver la Divifion ci

deffus, ou le nombre à divifer eft 9548 livres, le divifeur 365 perfonnes, & le quotient 26 liv. 3 fols 2 deniers avec 50 deniers de refte.

Il faut multiplier 365 divifeur par 26 liv. 3 fols 2 deniers, & ajoutant 50 deniers reftans qui valent 4 fols 2 deniers, le produit donnera le nombre à divifer, qui eft 9548 livres.

Produit 9548

la preuve.

Les deux preuves de la Divifion ci-deffus par 9 & par Multiplication, ferviront de modèle pour prouver toutes les autres Divifions où il s'agira de livres, fols & deniers. C'est pourquoi dans les opérations fuivantes, je ne parlerai point de la preuve.

Il y a encore une autre preuve de la Divifion laquelle fe fait par la Division même; fçavoir en divifant le nombre à divifer par le quotient, il viendra le divifeur.

Il faut observer, fi au quotient il y a livres, fols & deniers, comme en l'exemple ci-deffus, de réduire le nombre à divifer, & le quotient auffi tout en deniers, puis divifant les deniers de l'un par les deniers de l'autre, il viendra jufte le diviseur, & s'il eft refté quelque nombre de deniers à diviser dans la première Divifion, le même nombre de deniers doit refter dans cette feconde, & c'est la preuve.