mérateur des par 20, vient 60, c'eft-à-dire 60fols, que je divife par 5 dénominateur de la fraction 3, & vient au quotient 12, qui font 12 fols pour la valeur de ladite fraction 4.

De même fi on demandoit les d'un écu de 60 fols, il faut multiplier 3 numérateur des par 60,. vient 180, qu'il faut divifer par 4 dénominateur defdits, & viendra 45 fols au quotient pour les de 60 fols; ainfi des autres.

De plus, fi on veut réduire en fixiémes, il faur multiplier 2 numérateur des par 6, vient 12, qu'il faut divifer par 3 dénominateur de, & viendra 4, c'est-à-dire égaux à 4.

Mais pour le plus court, quand vous voudrez agrandir une fraction, c'est-à-dire, au lieu de avoir des fixiémes, il faut multiplier le numérateur & le dénominateur de la fraction par un même nombre, c'est-à-dire par 2: tellement que multipliant 2 des par 2, viendra 4, multipliant auffi 3 dénominateur des mêmes par 2, viendra 6, & ce feront égaux à comme deffus.

On peut à l'infini rehauffer des fractions telles qu'elles foient, en multipliant toujours le numérateur & le dénominateur de la fraction propofée par quelque nombre qui produife le dénominateur que l'on cherche, comme fi de on vouloit faire des feiziémes, on voit que multipliant le 3 de par 4. viendra 12; multipliant auffi le 4 des par le même 4, viendra 16, & ce feront égaux à 4; ainsi des

autres.

Il faut encore remarquer que pour prendre les parties de quelque nombre que ce foit, il faut multiplier les parties par le nombre donné, foit que le nombre foit compofé de fractions ou non comme pour prendre les de 8, ayant réduit 8 en 4, on multipliera par, fçavoir 42 par 2, & 5 par 3, comme il fe verra dans la multiplication, vien

42

42

dra

4

dra, lefquels réduits en entiers, en divifant 48 par 15, on trouvera 5, & reftera ou le tout fera 5 pour les de 8 &

Tout ce que deffus propofé bien entendu, il fera facile de procéder à l'opération des Regles d'Addition, Souftraction, Multiplication & Division fui

vantes.

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

ADDITION PAR FRACTIONS.
Premiere Regle.

E

Tant donné deux ou plus de fractions à ajouter, trouver leur fomme.

J'ai dit ci-devant que pour ajouter, fouftraire, ou diviser en fractions, il faut que les fractions foient en même dénomination, & fi elles n'y font pas, qu'il les y faut réduire par la méthode enfeignée ci-devant en la cinquième réduction.

Les Fractions étant de même dénomination, il n'y a qu'à ajouter les numérateurs, & écrire le dénominateur commun au-deffous, la fomme qui en viendra fera la fomme totale des fractions proposées.

Par exemple, fi on veut ajouter J'ajoute L357 7. tous les numérateurs , 3, 5, 7, la fomme eft 16 que je pose pour numérateur, & le dénominateur 8 au-deffous, tellement que la fomme totale des frac tions fufdites eft 1 ou deux entiers, comme il eft enfeigné par la quatrième réduction.

D

On veut ajouter avec, il faut confiderer que 6 peut être commun dénominateur aux deux fractions propofées, car au lieu de il viendra &, qui 923 enfemble font ou 1. Mais ordinairement quand il n'y a que deux fractions, on multiplie le numérateur de l'une par le dénominateur de l'autre alternativement, comme en l'exemple ci-deffous des mêmes à ajouter avec, on dira 3 fois 5 font 15, 6 fois 2 font 12, & ajoutant 15 avec 12 font 27; puis pour avoir un dénominateur commun, on multiplie les deux dénominateurs 3 & 6 l'un par l'autre, vient 18, qu'il faut écrire fous 27, & le tout faitou 1.

27

18

Il faut remarquer que par cette maniere de multiplier en croix, on réduit & on multiplie tout d'un coup; mais le plus fouvent on a la peine d'abbrévier les fractions, car les nombres fe trouvent beaucoup plus grands, & par conféquent plus difficiles à manier que fi on avoit pris un dénominateur commun le plus petit que l'on auroit pu trouver, comme j'ai mis en la premiere opération de cet exemple, où j'ai tout d'un coup pris 6 pour coummun dénomi

reur, au lieu qu'en la feconde opération j'ai trouvé pour dénominateur commun.

18

comme

12357

Et s'il fe trouve plus de deux fractions à ajouter, , il y auroit trop de peine de multiplier en croix, c'eft pourquoi on cherchera un nombre le plus petit que faire fe pourra, qui puiffe être divifé fans refte par tous les dénominateurs defdites fractions à ajouter, qui sont 2, 3, 4, 6, 8: Or je vois que 24 est un nombre qui peut être divifé fans refte par tous les fufdits dénominateurs 2, 3, 4, 6, 8.

Numérateurs.

Somme totale des numérateurs 87. * Et fi on veut fçavoir combien ils font d'entiers, divifez 87 par 24, il viendra 3 entiers & pour la fomme des fractions propofées ci-deffus, comme il fe voit. *

Preuve de l'Addition des Fractions.

Cette preuve le fait en ajoutant fucceffivement tous les numérateurs ci-deffus, excepté un, tel que l'on voudra, & fouftrayant cette derniere fomme. trouvée de la derniere fomme totale, il reftera le numérateur excepté, autrement les réductions feroient mal faites, & par conféquent la Regle feroit fauffe.

Par exemple, ajoutez tous les numérateurs cideffus, excepté 21, qui font au reste 12, 16, 18 20, leur fomme eft 66, qui étant fouftraite de 87, fomme totale, reftera zī, qui eft le numérateur excepté, c'est-à-dire 24 égaux à derniere fraction. Mais fi les fractions à ajouter font irrégulieres, que l'on ne puiffe commodément trouver un dé

&

nominateur commun par exemple, fi on veut ajou ter, on obfervera pour la réduction en même dénomination ce que j'ai dit ci-devant fur ce fujet, en la cinquième réduction, page 67; sçavoir de multiplier continuement tous les dénominateurs, dont le produit qui eft 2907 fera le dénominateur commun; cela fait, pour avoir le numé rateur de chaque fraction, comme de la premiere qui est on divifera le dénominateur commun trouvé par 9, & le quotient fera multiplié par 7, dont le produit fera 2261 pour numérateur de la fraction, & 2907 dénominateur commun ; & ainfi la fraction 6 fera égale à 7, on gardera le même ordre pour trouver les autres numérateurs, puis les ajoutant tous, comme en l'Addition ci-deffus : on écrira la fomme d'iceux, & 2907 dénominateur commun au-deffous; & le numérateur étant plus grand que le dénominateur, on divifera comme il a été enfeigné pour avoir les entiers & les fractions

1907

s'il est néceffaire.

Exemple d'Addition en entiers & fractions.

S'il y a entiers & fractions à ajouter, on ajoutera premierement les fractions, comme il vient d'être enfeigné, & les entiers qui en proviendront, s'il y en a, feront joints aux autres entiers pour les ajouter en une fomme, qui fera la fomme totale des entiers & fractions propofées.

Comme fi on vouloit ajouter 74 avec 91⁄2, on obfervera ce que deffus pour l'opération.

Nombres 7

à ajouter. 9

3

X

1 ajouté 24

38

38 24

R. 17 pour la fomme totale de l'Addition ci effus.

Pour preuve, ôtez 9 de 172, restera 74. Remarquez, que fi on veut ajouter des fractions