Exemple. La fraction eft propofée à réduire à plus pe tite dénomination, je regarde par quel nombre je pourrai divifer le numérateur & le dénominateur en même-tems, exactement, fans refte, comme par 2, 3, 4, 6, &c. enfin par quelque nombre que je le puiffe faire, pourvû qu'il ne refte rien. La premiere divifion étant faite de deux quotiens, j'en forme une autre fraction; puis je confidere fi le numérateur & le dénominateur de cette feconde fraction peuvent être encore divifés par un même nombre fans refte: Cette feconde divifion faite des quotiens, j'en forme encore une autre fraction, & ainfi de fuite, jusqu'à ce que j'aie trouvé une fraction de laquelle le numérateur & le dénominateur ne puiffent plus être divifés par un même nombre; car alors ce fera la plus petite dénomination requife. Construction de la réduction de à plus petits nombres. 24 Pour la faire, je divise 96 par 4, il vient 24; je divife auffi 144 par 4, il vient 36, c'est-à-dire . Je divife encore 24 par 4, il vient 6, & 36 auffi par 4, il vient 9, & ce font . Enfin je divife 6 par 3 il vient 2, & 9 auffi par 3 il vient 3 c'efà-dire pour les plus petits nombres faifant une fraction égale à 144 96 comme il fe voir ́ei-deffous par l'opération. 06.24 144 36 9 96 144 égaux à 24. Preuve de la Réduction d'une grande fraction à une plus petite qui lui foit égale. Pour preuve qu'une grande fraction eft égale à une petite, en laquelle elle eft réduite, ou qu'une petite eft égale à une grande. Il faut toujours divifer le numérateur de la grande fraction par le numérateur de la petite, viendra ua nombre 1 Il faut auffi divifer le dénominateur de la grande fraction par le dénominateur de la petite, & viendra le même nombre. 96 144 96 Comme dans l'exemple de 44 que nous avons réduits à fi on divise 96 par 2, viendra 48. Si on divife pareillement 144 par 3, viendrá 48 comme deffus, ce qui dénote l'égalité qu'il y a entre 44&; ainfi des autres, & c'est la preuve. Pour faire mieux connoître la raifon de la preuve ci-deffus de la réduction de 2 à, je dirai que le même quotient qui fe trouve en divifant 96 par 2, & 144 par 3, eft la même chofe que fi on vouloit divifer 96 livres à 144 perfonnes, parce que cha cune auroit autant pour fa part que fi on vouloit partager 2 livres à trois perfonnes; fçavoir 13 fols 4 den. qui font les deux tiers de 20, & partant on doit s'affurer que la preuve ci-deffus eft générale & infaillible, pour voir s'il y a égalité de valeur entre deux fractions, dont l'une eft connue, & l'autre ne 'P'eft pas, comme il fe verra dans les Regles d'Addition, Souftraction, Multiplication & Divifion en fractions ci-après, où il fera fouvent néceffaire de prouver l'égalité des deux fractions. 9.6 La réduction de la fraction ci-deffus fe peut faire d'une autre façon, ainfi que je l'ai dit ci-de`vant; il faut divifer le dénominateur 144 par le numérateur 96, viendra 1 au quotient, & reftera 48: & fans avoir égard au quotient, il faut divifer le divifeur 96 par le refte qui eft 48, viendra 2 au quotient, & ne refte rien; d'où s'enfuit que 96 & 144 fe peuvent divifer chacun par 48 dernier divifeur : tellement que divifant 96 par 48, il vient 2 : divifant auffi 144 par le même 48, il vient 3; puis po fant les deux quotiens 2 & 3 l'un fur l'autre, vient égaux à 144 comme ci-dessus. Avertiffement fur la Réduction des Fractions. Il arrive fouvent que, quoique les nombres qui expriment la fraction foient très-grands, il eft néant moins impoffible de réduire la fraction à plus petite dénomination, parce que les nombres, quoique grands, ne peuvent pas être divifés en même-tems par un même diviseur fans refte. 48 Exemple. font propofés à réduire à plus petite dénomination, on voit que 48 peuvent se diviser par 2 par 3, par 4, &c. il n'importe, mais 13 ne peuvent fe diviser par aucun de ces nombres, ni par 2 ni par 3, ni par 4; enfin ils ne peuvent fe diviser par aucun divifeur, fans qu'il y ait du refte; c'elt pourquoi il faut que la fraction 3 demeure en mê mes termes qu'elle eft exprimée. Autre Exemple. 48 être ; 4eft encore une fraction qui ne peut pas fe réduire à plus petite dénomination; car 25 peuvent être divifés par 5, mais 144 ne le peuvent pas 144 peuvent être divifés par 4, & 25 ne le peuvent pas être, tellement qu'il faut que la fraction demeure en tels termes qu'elle eft propofée. Preuve. 25 144 Et pour prouver qu'une fraction comme cideffus propofée ne peut fe réduire à plus petite dé nomination. Divisez le dénominateur 144 par le numérateur 25, il vindra au quotient, & refterá 19 à difer par 25, c'est-à-dire 12. Enfuite divifez 25 par 19, il viendra 1 au quo sient, & reftera 6, c'est-à-dire . Divisez encore 19 par 6, il viendra 3, & reftera Ir, qui est une marque que la fraction ne peut se réduire à plus petits termes. La raifon eft que toute fraction de laquelle le numérateur & le dénominateur n'ont point de commune mesure, finon l'unité, eft en plus petits ter mes qu'elle fe puifle exprimer. E Opération de la Divifion ci-devanti Tant donné un ou plufieurs entiers, les reduire en telle dénomination que l'on voudra. Il faut multiplier l'entier ou les entiers par le dénominateur demandé, & mettre le produit fur une ligne pour numérateur, & le dénominateur au-def fous, & la fraction fera la réponse. Exemple. On veut réduire 3 entiers en une fraction qui ait 6 pour dénominateur; c'eft comme fi on difoit: On demande combien trois aunes contiennent de fixiémes ? Pour faire cette réduction, multipliéz les 3 aunes par 6, il viendra 18, qu'il faut écrire fur une ligne pour numérateur de la fraction, & le 6 au- deffous pour dénominateur, & l'on aura 18 égaux à 3 entiers, ou 3 aunes. Pour preuve divifés le numérateur 18 par le dénominateur 6, il viendra 3 au quotient, c'est-àdire 3 entiers, ou 3 aunes, &c. E Troifiéme Réduction. Tant donné entiers & fraction réduire tout en une même fraction. Il faut multiplier les entiers par le dénominateur -de la fraction, & ajouter au produit le numérateur de la même fraction, la fomme fera le numérateur de la fraction totale, & le dénominateur fera le dénominateur de la fraction proposée. Exemple. On veut réduire 5 en même fraction, c'eft-àdire en tiers, puisque le dénominateur de la fraction eft 3; pour faire cela, je multiplie 5 par 3, vient 15, aufquels ajoutant 2 numérateur des vient 17, qu'il faut écrire pour numérateur de la fraction demandée; & mettre pour le dénominateur le 3 de la fraction propofée, & on aura égaux à 57. Pour preuve, divisez le numérateur 17 par le dénominateur 3, il viendra 5 au quotient, c'est-à-dire Sentiers, & reftera 2 à diviser par 3, c'eft-à-dire , & le tout fera 5 comme il eft requis. E Quatrième Réduction. Tant donné un nombre rompu plus grand que l'unité, le réduire en entiers & fractions s'il y échet. fon Il faut divifer le numérateur de la fraction par dénominateur, & le quotient donnera des entiers; s'il refte quelque chofe, ce sera le numérateur d'une fraction qui aura même dénomination que le dénominateur premier. Exemple. La fraction eft propofée; on demande combien ce font d'entiers: il faut divifer 55 par 12, il viendra 4 au quotient, qui font 4 entiers, & reste 7, lefquels étant écrits fur le dénominateur 12, font 12; tellement que la fraction vaut 4 entiers &. Pour preuve, multipliez les 4 entiers par 12 dénominateur des il viendra 48, auxquels vous ajou terez 7, & ce feront comme il eft requis. |