Comme s'il y avoit 576 hommes à ranger en batailIon, & que l'on voulût que la file fût de 12 hommes, il faudroit divifer 576 par 12, & le quotient feroit 48 pour le nombre des hommes du front.

Ufage de la Divifion.

Llufieurs chofes la valeur d'une.

A Divifion fert pour trouver par le prix de

Comme fi on difoit, une pièce de toile de 49 aunes a couté 196 livres pour tous frais; on demande combien vaut l'aune? Il faut diviser 196 livres par 49 aunes, & il viendra 4 livres pour la va leur de l'aune.

De plus, fr par le prix d'une piéce on divife quelque fomme, le quotient de la Divifion donnera le nombre des piéces valant ladite fomme, comme il fe verra, lorsque je traiterai du borderau de payement par Divifion.

La Divifion fert, outre ce que je viens de dire, pour réduire des petites efpéces en plus grandes felon la Table ci-dessous.

12 viennent foly

*qui divife

ou par 240 viennent livres.

Des fols par 20 viennent livres.
Des grains par 24 viennent deniers
de marc.

Des deniers par 3 viennent gros
Des gros par & viennent onces
Des onces par 8 viennent marcs.
Ou des onces par 16 viennent #
de poids

Cy

qui divife

* Ou des onces 15 viennent aufli # de poids.

Des points par 12 viennent lignes, Des lignes par 12 viennent pouces. Des pouces par 12 viennent pieds. Des pieds par 6 viennent toises, &c. L'ufage de cette Table eft expliqué enfuite de la Division par livres, fols & deniers.

TRAITÉ

DES FRACTION S.

Près avoir amplement expliqué l'Addition,

A Souftraction, Multiplication, & Divifion en

nombres entiers, il eft néceffaire à préfent de donner l'intelligence des quarre mêmes opérations en nom*bres rompus ou en Fractions, d'autant que par le moyen d'icelles on peut réfoudre les plus difficiles questions d'Arithmetique, excepté celles où il faut fe fervir du grand Art, qui eft l'Algebre: C'est pourquoi je me fuis réfolu d'en donner un ample Traité, dans lequel je tacherai de découvrir aux curieux tous les moyens de les comprendre.

Pour donc commencer, je dirai pour définition que ce que l'on appelle Fraction, n'eft autre chofe qu'une ou plufieurs parties de quelque entier ; comme 5 fols qui eft le quart de 20 fols, 15 fols les trois quarts, &c.

Les Fractions font de deux fortes: Arithmetiques' valgaires.

Les Fractions Arithmetiques font celles qui font

exprimées par les parties de l'unité, & qu'on peut appliquer à nombrer quelque chofe que ce foit:com me les parties d'un fol, d'une livre, d'une aune, &c.

Les Fractions vulgaires font les parties de quelque entier qui eft dans l'ufage, comme 4 fols, qui font le cinquiéme de 20 fols, ou 2 pieds, qui eft le tiers de la toife, ainfi des autres.

La Fraction Arithmetique, qui eft celle de laquelle j'entens parler dans ce Traité, vient enfuite d'une Divifion, ou bien elle eft propofée felon qu'il eit befoin dans quelque opération, & s'écrit par deux nombres que l'on écrit l'un fous l'autre, & une ligne entre deux, comme qui fignifient trois quarts, defquels celui de deffus eft appellé Numé rateur, qui dénote les parties de l'entier, & celui qui eft deffous est appellé Dénominateur, qui montre en combien de parties l'entier eft divifé, comme il fe voit par la démonftration qui fuit.

3 Numérateur.

4 Dénominateur.

ou 3 entiers à diviser par 4.

De même qui fignifient trois feptiémes parties telles que le tout eft divisé en 7, comme 3 livres, 3 écus, 3 piftoles à diviser par 7.

Les Fractions fe peuvent rencontrer en trois diverfes façons, ou lorfque le Numérateur eft plus grand que le Dénominateur, ou loríqu'il est égal, ou plus petit.

Si le Numérateur eft plus grand que le Dénomí nateur, la Fraction vaut plus que l'entier, comme & qui font plus que l'entier d'un quart.

S'il eft égal, la Fraction vaut juste l'entier, com

me.

Enfin fi le Numérateur eft plus petit que le Dénominateur, la Fraction vaut moins que l'ensier, comme; ainfi des autres.

Il faut remarquer que le Dénominateur en fraction

77

repréfente toujours l'entier, tellement que quand fraction fera grande, comme 22 pour fçavoir combien ce font d'entlers, il faut divifer le Numérateur77 par le Dénominateur 8, & il viendra 9 au quotient, c'est-à-dire 9 entiers : & restera 5 à diviser par 8, c'est-à-dire, & le tout fera o entiers & parties de telle chofe que l'on voudra diviser, foit d'écus, de livres, de toifes, de perches, &c. Mais en matieres de fractions, & de tant que l'on en voudra, il n'y a que le dernier Dénominateur qui vaille un entier; comme fi on demande quels font Tesde de d'un écu de 60 fols, on multipliera les Numérateurs 2, 3 & 5 entr'eux l'un par l'autre, fçavoir 2 par 3 vient 6, & 6 par 5 vient 30 que l'on pofera pour Numérateur enfuite l'on multipliera les Dénominateurs 3, 4 & 6 continuement, fçavoir 3 par 4 viendra 12, & 12 par 6 viendra 72, que l'on pofera pour Dénominateur au-deffous de 30, & la fraction fera parties d'un écu : Quant à l'évalua➡ tion des fractions, j'en parlerai ci-après.

Ayant dit ces chofes de la Fraction arithmetique, convient de paffer à l'explication des quatre Regles, d'Addition, de Soustraction, Multiplication & Divifion, ayant préalablement fait voir quelques, réductions qui fervent aufdites Regles, lefquelles réductions font fpécifiées ci-deffous.

1. Réduire une grande faction à une moindre. 2. Réduire des entiers en une fraction de telle dé nomination que l'on voudra.

3. Etant donné entiers & fraction, réduire tout en une même fraction..

4. Etant donné une fraction de laquelle le Numéra-s. teur foit plus grand que le Dénominateur

la réduire en entiers & fraction s'il y échet. 5. Etant donné deux ou plus de fractions, les réduire en même dénomination,

E

Premiere Réduction.

Tant donné une grande fraction, la réduire en une moindre dénomination.

Réduire à moindre dénomination, c'est trouver de plus petits nombres que ceux par lefquels la fraction propofée eft exprimée, & qui faffent la même vaTeur, puifque les nombres qui font en même raifon font les fractions égales, & qu'il eft plus facile d'opérer par une petite fraction que par une grande Par exemple, font égaux à aufquels il font réduits, comme vous le verrez ci-après pour la Regle.

Pour opérer en cette réduction, l'une eft tâtonneufe à ceux qui ne connoiffent pas la puiffance des nombres, mais prompte à ceux qui la connoiffent,, l'autre eft par une doctrine certaine & infaillible; je les expliquerai toutes deux.

Exemple.

Soit propofée la fraction à réduire à plus petite dénomination..

Il faut trouver un nombre par lequel on puiffe divifer le Numérateur 9, & le Dénominateur 12 en même-tems fans refte.

Pour faire cette réduction', je trouve que 3 peur fervir de divifeur à 9 & à 12 ; car prenant le tiers de 9, vient 3; prenant auffi le tiers de 12, vient 4, que je pofe l'un fous l'autre en fraction, & ce font égaux à, ainsi des autres.

Mais fi les nombres de la fraction propofée font fi grands, que l'on ne les puiffe pas réduire tout d'un coup à la plus petite dénomination requife, comme dans l'exemple ci-deffous; alors on fe fervira de plufieurs divifions continuées, comme dans l'exeme ple fuivant.