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fols & deniers, où je rapporterai ce même exemple. Preuve de la divifion.

La Divifion auffibien que les trois autres Regles précédentes, fe prouve en deux façons; fçavoir par la preuve de 9, & par la Multiplication qui est fon contraire & la plus affurée.

Et premierement de la preuve par 9.

La preuve de la Division se fait ainfi. Après avoir fait une croix, on commencera à compter par le divifeur comme dans la Regle ci-deffus, où le divifeur eft 357, & dire 3 & font 8, & 7 font IS; defquels réjettant 9, le reste eft 6 que l'on écrit au haut de la croix, de là on paffe au quotient qui eft 18, disant; 1 & 8 font 9, dont la preuve eft zero 2 qui fera pofé au bas de la même croix, puis il faut multiplier les deux preuves l'une par l'autre, difant; 6 fois zero c'eft zero: Il faut remarquer que s'il n'y avoit rien de refte à la Division, il faudroit écrire zero au bras gauche de ladite croix: Mais à cause qu'il y a 328 de refte à la Division, il en faut tirer la preuve, & le furplus de 9 fe trouve 4, que l'on doit écrire audit bras gauche de la croix au lieu du zero, obfervant toujours de rechercher le refte de la Divifion, s'il y en a, pour en tirer la preuve. Eng fin il faut tirer la preuve de 6754 nombre à divifer, & le furplus de 9 eft 4, qu'il faut écrire à l'autre bras de la croix ; & comme les deux reftes du braş gauche & du bras droit de la croix se trouvent égaux, la Divifion eft eftimée bien faite, comme il fe voit par l'opération ci deffus. Qn fera de même pour la preuve par 9 des autres Divisions en nom bres entiers.

De la preuve de la Divifion par la Multiplication. Pour faire la preuve de la Divifion ci-deffus, & généralement de toutes les Divifions, il faut multi plier le quotient d'icelle par le diviseur, ou le divi feur par le quotien indifféremment, & ajoutant le

refte de la Divifion, s'il y en a, la fomme viendra égale au nombre à divifer fi la Regle eft bien faite ; fi elle vient autrement, la Regle eft fauffe. Opération de la preuve de la Divifion ci-dessus. 357 diviseur à multiplier.

par

18 quotient.

2856

357

328 refte de la Division.

Produit 6754 qui eft le nombre que l'on a divifé & c'est la preuve. Ainfi des autres.

Preuve de la Multiplication en nombres entiers
par la Divifion.

Ayant fait la Multiplication ci-deffous, il faut divifer le produit d'icelle par le nombre à multiplier, & il viendra au quotient le multiplicateur.

Ou fi on divife le produit par le multiplicateur, il viendra au quotient le nombre à multiplier, comme il fe voit par les opérations fuivantes, tant de Multiplication que de Divifion.

Exemple de la Multiplication. On veut multiplier 706 par $7.

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40242

Cette Regle de Multiplication a été opérée page 34, & je l'ai répétée ici pour en faire voir la preuve.

Deuxième

Deuxième Méthode de divifer nommée à l'Efpagnole, plus facile que la précédente.

Yant bien entendu l'explication ci-deffus pour

A Papé tine de la pour

la Françoise, il fera bien facile d'entendre comment il faut opérer par cette feconde, laquelle ne differe point de la précédente pour la prévoyance & la pofition des figures du quotient: Elle se fait ainfi ; il faut difpofer les figures du diviseur fous le nombre à divifer, comme il a été enfeigné, & chercher de même façon combien de fois le diviseur eft contenu dans le nombre à divifer, & pofer au quotient pour chaque opération la figure qui exprime la quantité de fois que le diviseur eft contenu dans le dividende fupérieur, comme il fe voit par l'opération ci-des fous.

Exemple.

On veut divifer 6754 livres à 357 personnes, os demande combien chacun aura pour fa part.

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La fomme à diviser étant ainfi pofée & le diviseur au-deffous, il faut voir combien de fois 3 eft contenu 3 en 6, on voit qu'il y eft 2 fois naturellement, mais qu'il n'y peut entrer qu'une fois, parce que 2 fois 357 font plus que 675 qui font deffus : il faut donc pofer i au quotient.

Le quotient 1 étant ainsi posé, on dira en retrogradant de la droite à la gauche, felon l'ordre de la Multiplication, I fois 7 ett 7, qui de 5 ôte 7, cela e fe peut, mais qui de 15 ôte7, il reste 8 que j'é

C

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cris fur le 5, lequel nombre de 15 eft composé d'u ne dixaine empruntée fur la colomne prochaine, & dus; on dira donc je retiens une dixaine.

Enfuite il faut dire 1 fois 5 eft, & une dixaine empruntée font 6, qui de 7 ôte 6 il refte i que j'écris fur 7:

Enfin je dis 1 fois 3 eft 3, qui de 6ôte ; il reste 3,
Seconde opération.

La premiere opération étant ainfi achevé, on écri ra le divifeur 357 à l'ordinaire fous le nombre à di, viser, en avançant d'un degré, & le 3 du divifeur fe rencontrera fous I de31.

Puis cherchant combien de fois 3 font contenus dans 31, on voit qu'ils y font 10 fois naturellement, mais qu'ils ne peuvent y entrer que 8 fois, comme il a été examiné ci-devant, il faut donc pofer 8 au quotient,*

32

33188

0784

18

(18 quotient. refte 328. * enfuite de la figure 1 déja posée; puis multipliant 357 par le quo tient 8 felon l'ordre de la Multiplication, on dira 8 fois 7 font 56, ôtez de 64 compo fés de 4 fupérieur & de 6 dixaines que l'on emprunte dans fon efprit fur le dégré fuivant, refte 8 qu'il faut écrire au-deffus de 4, & on retiendra dans la mémoire les 6 dixaines empruntées pour les rendre & ajouter au produit de la Multiplication fuivante.

Enfuite on dira 8 fois 5 font 40, & les 6 dixaines retenues font 46, ôtez de 48 compofés du 8 fupérieur & de 4 dixaines que l'on emprunte fur le dégré fuivant, refte 2, qu'il faut écrire fur 8, & retenir les 4 dixaines empruntées.

Enfin on dira 8 fois 3 font 24, & les 4 dixaines retenues font 28, ôtez de 31 qui font au-deffus refte ; que l'on écrira fur 1 de 31, & portant le refte

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fera 328, comme par la méthode à la Françoise cidevant, lequel reste sera écrit sur une ligne, & fe. ront ou 328 livres, qui ne fe peuvent pas divifer par 357, que l'on réduira en fols, &c. comme il fe vera lorfque je traiterai de la Division par livres, fols & deniers.

357

2

Troifiéme Méthode de Divifion nommée
à l'Italienne.

C

Ette troifiéme méthode de diviser ne differe en rien des deux précédentes, quant à la prévoyance qu'il faut garder pour la pofition du quotient; car quoique le divifeur ne foit pas mis directement fous le nombre à diviser comme ci-devant, & qu'il foit mis à l'écart en quelque endroit où l'on voudra, comme il fe voit dans l'exemple ci-deffous, de 6754 à divifer par 357, dont j'ai fait ci devant l'opération en deux façons, il faut néanmoins fçavoir à chaque opération combien de fois le diviseur eft contenu dans le nombre fupérieur à diviser.

Comme dans l'exemple dont je me fers à préfent, il faut fçavoir combien il y a de fois 357 dans 675 ». ayant trouvé qu'il y eft une fois, il faut pofer i au quotient, puis multipliant le divifeur 357 par cet 1, vient 357 qu'il faut écrire fous 675 & le souftraire le refte eft 318 que l'on écrit fous

357.

Pour feconde opération il faut abaiffer le 4 du nombre à diviser, & le pofer à la fuite de 318, il vient 3184, & après fçavoir combien de fois le divifeur 357 eft contenu dans 3184, difant en 31 combien de fois 3, on trouve qu'il y eft 8 fois ; on posera donc 8 au quotient; enfuite multipliant 357 par 8, il vient 2856 que l'on écrit au-deffous de 31843 puis ôtant l'un de l'autre, le refte eft 328 qui ne fe

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