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Pour preuve , multipliez 49 par 14, le produit sera 686 ; puis multipliez 20 restez de l'extraction par diviseur, le produit sera 140, auxquels ajouiant les 4 reitez de la division, le tout fait 144 , dont la moitié ett 72 qu'il faut ajouter à 686, & le tout sera 758, comme veut la question.

Quatrieme Question.

11 y a 400 hommes desquels on veut former un ba. taillon en forme de lozange, on demande combien il y aura d'hommes à chacun des côtés du bataillon.

Pour former un bataillon en forme de lozange ou rhomboide , il faus former deux bataillons en forme équilaterale, & les joindre ensemble pour former la lofange, mais il faut qu'il y en air un où il y ait un rang plus qu'à l'autre.

Pour former un bataillon, on a de coutume de doubler le nombre, mais pour le dresser en losange, il ne faut pas doubler , il faut seulement extrairela racine quarrée du nombre des hommes, comme de 400, laquelle sera 20 pour la plus grande moitié de la losange; elle sera donc équilaterale, & l'autre moitié équilaterale aussi ; mais les côrez de ce der. nier ne seront

que de 19 hommes lesquels joints ene semble, seront une véritable lofange de 400 hommes..

Ec pour prouver le grand triangle qui a 20 de tous côtez, il faut ajouter, selon la Progression Arithmerique, le premier rang 1 avec le dernier 20, la somme sera 21 que vous multiplierez par la moitié de 20 qui est 10, il viendra 210 pour les hommes qui composent le plus grand triangle.

Ajoutez ausfi le premier rang du petit triangle avec le dernier, sçavoir i avec 19 , la somme sera 20 que vous multiplierez par 9 moitié de 19 , le produit sera 190, que vous ajouterez à 210, la

somme fera 400 hommes qui composent le bataillon en forme de rhomboide ou losange.

DE L' E XTRACTION

De la Racine Cubique.

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L
E Cube Géométrique est un corps ayant trois

& fondeur ou hauteur , lequel forme fix superficies égales & quarrées, telles qu'elles sont représentées en la figure d'un dez à jouer, à la ressemblance dus quel on appelle un nombre cube , qui est fait d'un nombre multiplié par foi-même deux fois, comme fi on multiplie 6 pieds par 6, il viendra 36 pieds quarrés, & o multipliez encore par 36, font 216 pieds cubes contenus dans la coise cube.

Tout nombre cube a pour côté ou racine le nombre qui commence à multiplier pour le produire, & Téciproquement le produit eft appellé le cube de la racine cubique même.

Quand les racines des nombres cubes font données, il est facile d'en trouver les cubes ; mais les cubes étant donnés, il est difficile d'en trouver les racines; néanmoins l'on en vient à bout , fi on connoît les cubes des racines qui sont depuis l'unité jusqu'à dix ex. primées en la Table suivante, qu'il est nécessaire d'apprendre par coeur pour opérer plus facilement dans l'extraction de la racine cubique de tout nom, bre proposé.

T A B L E.

Racines I 2
3 4 5 6 7

8 9 Quarez I 4

36

49 Cubes 1.8.27.64.125.216.343.512.729. 1000.

9 16

25

64 81

100

Après avoir entendu la Table ci-dessus , fi d'aventure l'on veut extraire la racine cubique d'un nombre qui soit compris justement en icelle, ou moindre que le plus grand cube suivant , l'on cherchera le même dans la ligne des cubes , s'il s'y rencontre, & au-dessus d'icelui se rencontrera sa raci. ne cubique : Si d'aventure le nombre ne se rencontroit pas précisément, on prendra la racine cubique du plus prochain moindre de la Table , & ôtant le cube pris à la Table du nombre duquel on veut ex. traire la racine , le.reste de la soustraction sera écrit sur une ligne pour numérateur d'une fraction dont il sera parlé ci-après, page 350.

Exemplea Si je veux extraire la racine cubique de 437 , je cherche dans la Table à la ligne des cubes , & trouve que 437 se rencontre entre 343 & 512 , partant je prens 343 nombre cube prochain , duquel la rae cine cubique ett 7 pour la racine du nombre propoLé, & reste 94.

Mais pour extraire la racine cubique d'un nombre au-dessus de 1000 contenu en la Table, comme de 48627125, après avoir écrit ledit nombre, on féparera les figures de 3 en 3 avec un point à cause des 3 dimensions du cube , commençant premierement à main droite, & finissant à la gauche , comme il se voit dans l'opération suivante; on décrira ausfi audevant dudit nombre un demi cercle comme à la dia vision, pour poser les racines que l'on trouvera en. faisant l'extraction,

Exemple.

ܐ

On'veur extraire la racine cubique de ce nombre 48627125, ayant séparé les figures de 3 en 3, comme il a été enseigné ci- 27 deffus, il faut prendre la ra- 48.627. 125. (3 cine cubique de la premiere féparation qui eft 48 , & on 27

5 trouvera que la racine eft 3, lequel 3 sera écrit au quotient pour racine; ayant écrit 3, il le faut cuber, & son cube est 27, qu'il faut soustraire de 48, & le reite 2 i sera écrit sur 48, comme en la division.

Pour seconde opération, où il faut trouver un diviseur, il faut prendre le triple du quarré de la racine déja pofé , qui eft 3, disant: 3 fois 3 font 9 , & 3 fois 9 font 27 ( ce que l'on obfervera généralement pour trouver les diviseurs ;) lequel diviseur 27 sera écrit sous 48, mais en avançant d'un degré ; puis on dira comme à la division, en 21 combien de: fois 2 , on sçait qu'il y est naturellement 9 & plus; mais je suppose qu'il y puifle entrer seulement 6 fois, j'écris donc 6 au quotient pour racine ; cela fair, je multiplie le diviseur 27 par 6, il vient 162 au produit, que j'écris à l'écart ; ensuite je prens le triple du quarré de la racine 6 , il vient 108, parce que le quarré de 6 eft 36, & le triple de 36 eft 10ð aulli que je multiplie par la premiere racine trouvée qui est 3 , & le produit eit 324 que j'écris sous 162, mais: en avançant d'un degré,

Enfin je cube la racine 6, & fon cube eft 2 16 que j'écris sous 324 , en avançant encore d'un degré ;; puis ajoutant ces trois produits mis l'un sous l'autreda l'écart, la somme ett 19056 , qu'il faut soustraire de '21627, & le reste fera 1971 qu'il faut écrire fux 20627, comme il se voir par l'opération ci-aprèix,

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27 diviseur.

6 racine I 971 48.627.125. 162 produit.

(36 36 quarré.

3 27 diviseur. 78 638

108 triple.

3

27

19655

1

324 produit.

216 cube de 6. Par cette méthode d'extraire la racine cubique en posant à l'écart les produits, on voir si la lomme d'iceux est plus grande ou plus petite que ce qui est seité de la premiere opération pour la seconde, ou de la seconde pour la troisiéme , & ainsi de suite : Si la somme des produits et plus grande , c'est signe que l'on ne peut pas mettre pour racine un fi grand nombre que celui que l'on a supposé ; si aulli la fomme eit un peu moindre ou égale, c'eft figne que la racine est bien trouvée , comme dans l'exemple ci-dessus la somme des produits et 19656, & le reste étoit 2 1627; par conséquent on peut mettre hardiment 6 pour seconde racine ; & observant ce que ci-dessus, l'on est assuré si on peut mettre la racine supposée, ou non, parce que si la somme des produits eit plus grande que le reste du nombre de l'extraction, il faut supposer un moindre nombre pour racine ; ce que l'on observera pour chaque opé. ration ; soit deuxième , troisiéme , quatriéme, cinquiéme, &ca

Pour troisiéme opération , il faut encore trouver un diviseur, & pour faire cela , il faut prendre le ariple du quarré des deux racines déja trouyées,

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