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Pour preuve, multipliez 49 par 14, le produit fera 686; puis multipliez 20 reftez de l'extraction par divifeur, le produit fera 140, auxquels ajoutant les 4 reftez de la divifion, le tout fait 144, dont la moitié eft 72 qu'il faut ajouter à 686, & le tout fera 758, comme veut la question.

Quatriéme Question.

Il y a 400 hommes defquels on veut former un bataillon en forme de lozange, on demande combien il y aura d'hommes à chacun des côtés du bataillon.

Pour former un bataillon en forme de lozange ou rhomboïde, il faut former deux bataillons en forme équilaterale, & les joindre enfemble pour former la lofange, mais il faut qu'il y en ait un où il y ait un rang plus qu'à l'autre.

Pour former un bataillon, on a de coutume de doubler le nombre, mais pour le dreffer en lofange, il ne faut pas doubler, il faut feulement extraire la racine quarrée du nombre des hommes, comme de 400, laquelle fera 20 pour la plus grande moitié de la lofange; elle fera donc équilaterale, & l'autre moitié équilaterale auffi; mais les côtez de ce dernier ne feront que de 19 hommes lesquels joints en-. femble, feront une véritable lofange de 400 hommes..

Et pour prouver le grand triangle qui a 20 de tous côtez, il faut ajouter, felon la Progreffion Arithmetique, le premier rang I avec le dernier 20, la fomme fera 21 que vous multiplierez par la moitié de 20 qui eft 10, il viendra 210 pour les hommes qui compofent le plus grand triangle.

Ajoutez auffi le premier rang du petit triangle avec le dernier, fçavoir 1 avec 19, la fomme fera 20 que vous multiplierez par 9 moitié de 19, le produit fera 190, que vous ajouterez à 210, la

fomme fera 400 hommes qui compofent le bataillon en forme de rhomboïde ou lofange.

DE L'EXTRACTION

De la Racine Cubique.

E Cube Géométrique eft un corps ayant trois

Ldinenfis, neavor longueur, largeur & pros

fondeur ou hauteur, lequel forme fix fuperficies égales & quarrées, telles qu'elles font repréfentées en la figure d'un dez à jouer, à la reffemblance du quel on appelle un nombre cube, qui eft fait d'un nombre multiplié par foi-même deux fois, comme fi on multiplie 6 pieds par 6, il viendra 36 pieds quarrés, & 6 multipliez encore par 36, font 216 pieds cubes contenus dans la toife cube.

Tout nombre cube a pour côté ou racine le nom→ bre qui commence à multiplier pour le produire, & réciproquement le produit eft appellé le cube de la racine cubique même.

Quand les racines des nombres cubes font données, 'il eft facile d'en trouver les cubes; mais les cubes étant donnés, il eft difficile d'en trouver les racines; néanmoins l'on en vient à bout, fi on connoît les cubes des racines qui font depuis l'unité jusqu'à dix exprimées en la Table fuivante, qu'il eft néceffaire d'apprendre par coeur pour opérer plus facilement dans l'extraction de la racine cubique de tour nome bre propofé.

TABLE.

10

Racines 1 2
3 4 S 6 7 89.
Quarez 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Cubes 1.8.27.64. 125.216.343.512.729. kooo.

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Après avoir entendu la Table ci-deffus, fi d'aventure l'on veut extraire la racine cubique d'un nombre qui foit compris juftement en icelle, ou moindre que le plus grand cube fuivant, l'on cherchera le même dans la ligne des cubes, s'il s'y rencontre, & au-deffus d'icelui fe rencontrera fa racine cubique: Si d'aventure le nombre ne se rencontroit pas précisément, on prendra la racine cubique du plus prochain moindre de la Table, & ôtant le cube pris à la Table du nombre duquel on veut exraire la racine, le refte de la foustraction fera écrit fur une ligne pour numérateur d'une fraction dont il fera parlé ci-après, page 350.

Exemple.

Si je veux extraire la racine cubique de 437, je cherche dans la Table à la ligne des cubes, & trouve que 437 fe rencontre entre 343 & 512, partant je prens 343 nombre cube prochain, duquel la racine cubique eft 7 pour la racine du nombre propoLé, & refte 94.

Mais pour extraire la racine cubique d'un nombre au-deffus de 1000 contenu en la Table, comme de 48627125, après avoir écrit ledit nombre, on féparera les figures de 3 en 3 avec un point à caufe des 3 dimenfions du cube, commençant premierement à main droite, & finiffant à la gauche, comme il fe voit dans l'opération suivante; on décrira auffi audevant dudit nombre un demi cercle comme à la di◄

vifion, pour poser les racines que l'on trouvera en faifant l'extraction.

Exemple.

On veut extraire la racine cubique de ce nombre 48627125, ayant féparé les figures de 3 en 3; comme il a été enfeigné ci

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deffus, il faut prendre la ra- 48. 627. 125. (3
cine cubique de la premiere
féparation qui eft 48, & on

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trouvera que la racine eft 3, lequel 3 fera écrit au quotient pour racine; ayant écrit 3, il le faut cuber, & fon cube eft 27, qu'il faut fouftraire de 48, & le refte 21 fera écrit fur 48, comme en la division.

Pour feconde opération, où il faut trouver un divifeur, il faut prendre le triple du quarré de la racine déja pofé, qui eft 3, difant: 3 fois 3 font 9, & 3 fois 9 font 27 (ce que l'on obfervera généralement pour trouver les divifeurs ;) lequel divifeur 27 fera écrit fous 48, mais en avançant d'un degré; puis on dira comme à la division, en 21 combien de fois 2, on fçait qu'il y eft naturellement 9 & plus, mais je fuppofe qu'il y puiffe entrer feulement 6 fois, j'écris donc 6 au quotient pour racine; cela fait, je multiplie le divifeur 27 par 6, il vient 16z au produit, que j'écris à l'écart; enfuite je prens le triple du quarré de la racine 6, il vient 108, parce que le quarré de 6 eft 36, & le triple de 36 eft r08 aufli que je multiplie par la premiere racine trouvée qui eft 3, & le produit eft 324 que j'écris fous 162, mais: en avançant d'un degré,

Enfin je cube la racine 6, & fon cube eff 216 que j'écris fous 324, en avançant encore d'un degré „ puis ajoutant ces trois produits mis l'un fous l'autre Fécart, la fomme eft 19656, qu'il faut fouftraire de 21627, & le refte fera 1971 qu'il faut écrire fux 15627, comme il fe voit par l'opération ci-après,

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27 diviseur.

Produits

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Par cette méthode d'extraire la racine cubique en pofant à l'écart les produits, on voit fi la fomme d'iceux eft plus grande ou plus petite que ce qui est refté de la premiere opération pour la feconde, ou de la feconde pour la troifiéme, & ainsi de fuite : Si la fomme des produits eft plus grande, c'eft figne que l'on ne peut pas mettre pour racine un fi grand nombre que celui que l'on a fuppofé; fi auffi la fomme eft un peu moindre ou égale, c'eft figne que la racine est bien trouvée, comme dans l'exemple ci-deffus la fomme des produits eft 19656, & le reste étoit 21627; par conféquent on peut mettre hardiment 6 pour feconde racine; & obfervant ce que ci-deffus, l'on est assuré si on peut mettre la racine fuppofée, ou non, parce que fi la fomme des produits eft plus grande que le refte du nombre de l'extraction, il faut fuppofer un moindre nombre pour racine; ce que l'on obfervera pour chaque opération; foit deuxième, troifiéme, quatrième, cinquiéme, &c.

Pour troifiéme opération, il faut encore trouverun divifeur, & pour faire cela, il faut prendre le ariple du quarré des deux racines déja trouyées,

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