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Et pour avoir le vingtiéme qui est le dernier, il faut considerer que la différence du quinziéme terme au vingtiéme eft égale à celle du premier au sixiéme ; il n'y a donc qu'à dire par Reglede Trois : Si un premier terme donne 243 pour fixiéme terme , que donnent 4782969 qui est le quinziéme terme.

§. 1162261467 deniers, & c'est la valeur du vingtiéme cotret.

Et fi on veut avoir la valeur de tous les vingt cotrets, il faut ôter 1, qui est le premier terme, de la valeur du vingtiéme, puis prendre la moitié dureste, à cause que la Progression est en raison triple ; & ajoutant cette moitié au vingtiéme terme susdit , la somme fera la valeur de tous les cotrets, comme il se voit par l'opération. 11 6 2 2 6 1467 vingtiéme terme ,

5811307 3 3 moitié. 17 4 3 3 2 2 0 0 deniers pour la somme des 20 termes, & la valeur des 20 cotrets.

Pour faire entendre ce qui eft dit ci-dessus touchant l'addition de tous les termes , je dirai qu'en toute Progression, le premier terme & le dernier étant connus , sion ôre le moindre nombre du plus grand, & que l'on divise le reste par le nombre exprimant la différence des termes, le quotient donnera la différence de tous les termes moins le plus grand , lefquels ajoutez ensemble, la somme qui en provient est la valeur de tous les termes de la Progression, comme il se voit ci-dessus , & ausli par l'exemple ciaprès d'une Progression, qui est telle:

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En cer exemple, la différence du premier terme au deuxiéme eft 3, par conséquent ayant le septiéme terne, qui eft 4095, si on veut trouver la ya

leur de tous les fepe termes, il faut diviser 4096 moins i par 3, il viendra 1365 qu'il faut ajouter aux mêmes 4096 , & il viendra 5461 pour la somme des sepe termes proposez. Ainsi des autres.

DE L'EXTRACTION

De la Racine quarée.

L

A racine quarrée doit être considérée comme

une mesure parfaite ou égale en deux dimen. fions, sçavoir longueur & largeur.

D'où s'ensuit qu'ayant trouvé la superficie d'une figure très-irréguliere , qui aic autant de côrez que l'on voudra, si on veut la rendre dans un quarrée parfait où toute ladite superficie soit comprise, il faut prendre la superficie de ladite piéce , suivant les Regles que j'enseignerai dans mon Traité de l'Arpentage ci-après ; puis ayant trouvé que la superficie de la piéce de terre contient 64 toises ou perches quarrées, dece produit j'en tirera la racine quarrée qui sera 8; cela fait , je dis que pour faire un quarrée égal à cette susdite piéce irréguliere , il faut qu'il ait huit coises de chaque côté.

Pour l'intelligence de ce que ci-dessus, il faut fçavoir que quand on dit quarrer un nombre, c'est le multiplier par soi-même, & réciproquement que tout nombre multiplié par soi-même, produit un quarré, comme 3 multiplié par 3 font 9, 8 par : font 64 , & réciproquement ces deux nombres 3 & 8 font appellez racines des quarrés 9 & 64 ; ainsi des autres. Pour mieux faire entendre cela, j'ai dressé la Table ci-dessous des quarrés & de leurs racines jusqu'à 100.

I

100

Racines.
I ...2... 3 ... 4...5... 6 ... 7... 8

gina la Quarrés. 4 9 16 25 36 49 64 81 Par le moyen de cette Table, on peut facilement extraire la racine quarrée de tous les nombres qui sont au-dessous de 100, parce qu'ils sont compris dans icelle, comme si on demande la racine quarrée de 49, on trouvera que c'est 7, car 7 fois 7 font 49 nombre quarré.

Mais si l'on ne trouve pas quelque nombre exacte ment dans l'ordre des quarrés , on prendra le prochain moindre ; comme si on vouloit extraire la racine quarrée de 69, on prendra 64, qui est le prochain quarré au-dessous de 69, dont la racine est 8 pour nombre entier ; le reste qui est s , sera une fraction dont il sera parlé page 337•

Mais si le nombre duquel on yeurextraire la racia ne quarrée est plus que 100, par exemple 73964, il faut opérer en cette forte.

Ayant posé le nombre dont il est question, & formé un

3 demi cercle au-devant d'ice- . 39. 64: ( 2 lui, pour poser le quotient comme à la division il faut R séparer les figures de deux en deux avec un point, commençant à la premiere figure vers la main droite, & finissant à gauche, comme en cet exemple, le dernier point tombe sur le 7 qui eft à main gauche; on dira donc pour commencer , la racine quarrée de 7 est 2 , qu'il faut écrire au quotient , & aussi sous le 7 si l'on veur , puis dire 2 fois 2 font 4, lesquels Ôtez de 7 reste 3, que l'on écrira au-dessus du 7, barrant en même-temps le 7 & le 2 aussi qui eft au-dessous, comme à la division.

Ensuite pour trouver un diviseur, il faut doubler La racine 2 qui est venu au quotient, il viendra 4

restera i que 332

qu'il faut mettre au-dessous de 33 , mais en avançant d'une figure comme à la division, puis dire en 33 combien de fois 4, je trouve qu'il y est 7 fois, lequel 7 étant écrit au quotient ensuite de 2 déja po.sé, il le faut aus écrire pour diviseur sous le 9, puis on dira 7 fois 7 font 49, ôtez de 49, reste zero, + 10 & retiens 4, puis conti. 7. 8. 64 ( 27 nuant 7 fois 4 font 28,& 4 que j'ai retenu , font 32 , B Ôtez de j'écris au-dessus de

3. Maintenant pour trouver un second diviseur , il faut doubler les deux racines 27, disant : 2 fois 7 font 14, je pose 4 fous 6 , & reciens 1 ; ensuite je dis 2 fois 2 font 4, & i que j'ai retenu font 5, que j'écris sous 7 vis-à-vis du zero, puis je dis en 10 combien de fois 5, je trouve qu'il n'y peut être qu'une fois , que j'écris au quotient : ayant posé I au quotient, on

P'écrira aussi pour diviseur sous 4, premiere figure à main droite, & continuant comme à la division on dira une fois i eft ôrez de 4 qui sont dessus , reste 3

8 qu'il faut écrire sur 4; puis 3 10 23 une fois 4 eft 4, ôtez de 6, reste 2 qu'il faut écrire det 54. 39.64 sus 6 ; puis 1 fois seits, les quels ôté de 10, reste pour Ź 44 42 5 , qu'il faut écrire sur le

8 le tout comme il se voit par les opérations ci-dessus.

L'opération étant ainsi achevée, on trouve que la racine en nombres entiers est 271, & qu'il reste 523 , dont il sera parlé ci-après.

Preuve de l'extraction de la racine quarrée. Pour preuve, il faut multiplier 271 par eux-mê. mes, & ajouter à leur produit le reite de l'extrao

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( 271

zero ;

cion qui est 523 , la somme des produits sera 73964
qui est le nombre duquel on a tiré la racine quarrée;
& s'il ne rette rien, on ajoutera tout simplement
les produits , la somme donnera le nombre requis :
Ce que l'on observera généralement pour la preuve
de la racine quarrée.

Opération de la preuve.
271
271

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73964 Autre Preuve de la racine quarrée par go Comme la preuve de la racine quarrée par 9 å été jusqu'à présent négligée , parce qu'elle n'est pas de grande utilité, & par cette raison que les Auteurs, qui ont traité de l'Arithmetique , n'ont pas voulu le donner la peine de l'expliquer, je n'en parlerai que fort legerement & comme par curiosiié, afin de témoigner au Lecteur que je n'ai voulu rien omettre de ce que j'ai jugé lui devoir donner quelque satisfaction.

Je proposerai donc la question suivante, pour mettre en pratique ladite preuve.

On veut extraire la racine quarrée de 67895. R. 260, & refte 295

8 8.748. 95

(260 2.46. 28

88 8

Ayant

2

I

X

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