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Et pour avoir le vingtiéme qui eft le dernier, fl faut confiderer que la différence du quinziéme terme au vingtiéme eft égale à celle du premier au fixiéme; il n'y a donc qu'à dire par Regle de Trois : Si un premier terme donne 243 pour fixiéme terme que donnent 4782969 qui eft le quinziéme terme. R. 1162261467 deniers, & c'eft la valeur du vingtiéme cotret.

Et fi on veut avoir la valeur de tous les vingt cotrets, il faut ôter 1, qui eft le premier terme, de la valeur du vingtiéme, puis prendre la moitié du refte, à caufe que la Progreffion est en raison triple, & ajoutant cette moitié au vingtiéme terme fufdit, la fomme fera la valeur de tous les cotrets, comme il fe voit par l'opération.

1 1 6 2 2 6 1 4 6 7 vingtiéme terme 5 8 1 1 3 0 7 3 3 moitié.

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1 7 4 3 3 9 2 2 0 o deniers pour la fomme des 20 termes, & la valeur des 20 cotrets.

Pour faire entendre ce qui eft dit ci-deffus touchant l'addition de tous les termes, je dirai qu'en toute Progreffion, le premier terme & le dernier étant connus, fi on ôte le moindre nombre du plus grand, & que l'on divife le refte par le nombre exprimant la différence des termes, le quotient donnera la différence de tous les termes moins le plus grand, lefquels ajoutez ensemble, la fomme qui en provient eft la valeur de tous les termes de la Progreffion comme il se voit ci-deffus, & auffi par l'exemple ciaprès d'une Progreffion, qui eft telle:

*

1 4 16 64 256 1024 4096

En cet exemple, la différence du premier terme au deuxième et 3, par conféquent ayant le feptiéme terme, qui eft 4095, fi on veut trouver la va

4

leur de tous les fept termes, il faut divifer 4096 moins 1 par 3, il viendra 1365 qu'il faut ajouter aux mêmes 4096, & il viendra 5461 pour la fomme des sept termes proposez. Ainsi des autres.

DE L'EXTRACTION

L

De la Racine quarée.

A racine quarrée doit être confidérée comme une mefure parfaite ou égale en deux dimenfions, fçavoir longueur & largeur.

il

D'où s'enfuit qu'ayant trouvé la fuperficie d'une figure très-irréguliere, qui ait autant de côtez que l'on voudra, fi on veut la rendre dans un quarrée parfait où toute ladite fuperficie foit comprise, faut prendre la fuperficie de ladite piéce, fuivant les Regles que j'enfeignerai dans mon Traité de l'Arpentage ci-après; puis ayant trouvé que la fuperficie de la piéce de terre contient 64 toises ou perches quarrées, de ce produit j'en tirera la racine quarrée qui fera 8; cela fait, je dis que pour faire un quarrée égal à cette fufdite piéce irréguliere, il faut qu'il ait huit toifes de chaque côté.

Pour l'intelligence de ce que ci-deffus, il faut fçavoir que quand on dit quarrer un nombre, c'est le multiplier par foi-même, & réciproquement que tout nombre multiplié par foi-même, produit un quarré, comme 3 multiplié par 3 font 9, 8 par 8 font 64, & réciproquement ces deux nombres 3 & 8 font appellez racines des quarrés 9 & 64; ainsi des autres. Pour mieux faire entendre cela, j'ai dreffé la Table ci-deffous des quarrés & de leurs racines jusqu'à 100,

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Quarrés.

100

I 4 9 16 25 36 49 64 81 Par le moyen de cette Table, on peut facilement extraire la racine quarrée de tous les nombres qui font au-deffous de ioo, parce qu'ils font compris dans icelle, comme si on demande la racine quarrée de 49, on trouvera que c'eft 7, car 7 fois 7 font 49, nombre quarré.

Mais fi l'on ne trouve pas quelque nombre exacte ment dans l'ordre des quarrés, on prendra le prochain moindre; comme fi on vouloit extraire la racine quarrée de 69, on prendra 64, qui eft le prochain quarré au-deffous de 69, dont la racine eft 8 pour nombre entier ; le reste qui est 5, fera une fraction dont il fera parlé page 337.

Mais fi le nombre duquel on veut extraire la racine quarrée eft plus que ioo, par exemple 73964, il faut opérer en cette forte.

Ayant pofé le nombre dont

il est question, & formé un

3

demi cercle au-devant d'ice- . 39. 64: ( 2 lui, pour pofer le quotient comme à la division il faut féparer les figures de deux en

deux avec un point, commençant à la premiere figure vers la main droite, & finiffant à gauche, comme en cet exemple, le dernier point tombe fur le 7 qui eft à main gauche; on dira donc pour commencer la racine quarrée de 7 eft 2 qu'il faut écrire au quotient, & auffi fous le 7 fi l'on veut, puis dire 2 fois 2 font 4, lefquels ôtez de 7 refte 3, que l'on écrira au-deffus du 7, barrant en même-temps le 7 & le z auffi qui eft au deffous, comme à la divifion. Enfuite pour trouver un divifeur, il faut doubler la racine à qui est venu au quotient, il viendra 4

qu'il faut mettre au-deffous de 33, mais en avançant d'une figure comme à la division, puis dire en 33 combien de fois 4, je trouve qu'il y eft 7 fois, lequel 7 étant écrit au quotient enfuite de 2 déja pofé, il le faut auffi écrire pour diviseur fous le 9, puis on dira font fois 7

7, 49, ôtez de 49,refte zero, & retiens 4, puis conti nuant 7 fois 4 font 28, & 4 que j'ai retenu, font ôtez de 33, reftera i que j'écris au-deffus de 3.

32

ΙΟ

7. 39. 64 (27

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Maintenant pour trouver un fecond divifeur, il faut doubler les deux racines 27, difant: 2 fois 7 font 14, je pofe 4 fous 6, & retiens 1 ; enfuite je dis 2 fois 2 font 4, & 1 que j'ai retenu font 5, que j'écris fous 7 vis-à-vis du zero, puis je dis en 10 combien de fois 5, je trouve qu'il n'y peut être qu'une fois, que j'écris au quotient: ayant pofé I au quotient, on l'écrira auffi pour diviseur fous 4, premiere figure à main droite, & continuant comme à la divifion, on dira une fois 1 eft 1, ôtez de 4 qui font deffus, refte 3 qu'il faut écrire fur 4; puis une fois 4 eft 4, ôtez de 6, refte 2 qu'il faut écrire def. 39.6 fus 6; puis 1 fois ƒ est 5, lesquels ôté de 10, refte pour

I

8

x 23

(271

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5, qu'il faut écrire fur le

8

zero; le tout comme il fe

voit par les opérations ci-dessus.

L'opération étant ainsi achevée, on trouve que la racine en nombres entiers eft 271, & qu'il refte 523, dont il fera parlé ci-après.

Preuve de l'extraction de la racine quarrée.

Pour preuve, il faut multiplier 271 par eux-mêmes, & ajouter à leur produit le reste de l'extrao

tion qui eft 523, la fomme des produits fera 73964, qui eft le nombre duquel on a tiré la racine quarrée; & s'il ne refte rien, on ajoutera tout fimplement les produits, la fomme donnera le nombre requis: Ce que l'on obfervera généralement pour la preuve de la racine quarrée.

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Autre Preuve de la racine quarrée par 9. Comme la preuve 'de la racine quarrée par 9 été jufqu'à préfent négligée, parce qu'elle n'eft pas de grande utilité, & par cette raison que les Auteurs, qui ont traité de l'Arithmetique, n'ont pas voulu fe donner la peine de l'expliquer, je n'en parlerai que fort legerement & comme par curiofité, afin de témoigner au Lecteur que je n'ai voulu rien omettre de ce que j'ai jugé lui devoir donner quelque fatisfaction.

Je propoferai donc la queftion fuivante, pour mettre en pratique ladite preuve.

On veut extraire la racine quarrée de 67895. .260, & reste 295.

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