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On pourroit former sur ce sujet une question telle:

Un Marchand a vendu 150 aunes d'étoffe , à con. dition que de la premiere aune il recevra i livre, de la deuxiéme 2 liv. & de la troisiéme 3 liv. & toua jours en augmentant d'une livre, selon la naturelle Progression jusqu'à la derniere aune ; on demande combien doit recevoir le Marchand.

Pour faire cette Regle, ajoutez le premier terme I avec 150 dernier terme, la somme sera 151, qu'il faut multiplier par 75, moitié de 15b, & le produit donnera 11325 livres pour la valeur desdites 150

aunes.

Preuve. La preuve se doit faire par une autre question op: posée, disant:

Un Marchand.a vendu un certain nombre d'aunes d'étoffe 11325 liv. il a donné la premiere aune pour i livre, la deuxiéme pour 2 livres, & la troisiéme pour 3 liv. & toujours en augmentant d'une livre jusqu'à la derniere aune ; on demande combien il a vendu d'aunes.

Pour faire cette Regle, il faut doubler le produit ci-devant trouvé qui est 11325, il viendra 22050, dont la racine quarrée sera 150,

& ce sont autant d'aunes qu'il a vendues, obfervant qu'il faut que le reste de l'extraction se trouve égal au quotient comme il se verra ci-après par l'opération , autres ment la Regle seroit fauffe. I

I 2

so

(150 aunes, & reste 150
28 $
+

Autre Qteflion.
Il y a 120 pierres dans un pannter , que l'on pros
pose de placer en ligne droite, de sorte qu'elles.

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2

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loient éloignées l'une de l'autre de 6 pieds, mais à condition que celui qui les doit ranger, les prendra dans ledit pannier une à une pour les poser ; puis érant toutes rangées en leur place , il faut qu'il les releve toutes une à une pour les remettre dans ledic pannier où il les avoit prises; on demande combien il fera de chemin.

Pour résoudre cette question, il faut considérer que les pierres étant posées de 6 pieds en 6 pieds ; pour parvenir jusqu'à la derniere, il se trouvera 119 fois 12 pieds (à cause qu'il faut aller & revenir ) qui valent 1428 , qui est le dernier terme d'une Progreslicn Arithmetique, de laquelle le premier ter

eit & la muliitude des termes est 119: Maintenant pour trouver combien il faudra qu'il chemine de pieds , j'ajoute 1428 avec 12 , dont la moitié 720 étant multiplié par 119 , le produit sera 85680 pour le nombre des pieds de l'étendue du chemin qu'il doit faire pour les placer ; & s'il veut ramaffer lesdites pierres , & les remettre dans ledit pannier de mêmeordre, il sera obligé de cheminer encore autant; il n'y a donc qu'à doubler 85680, il viendra 171360 pieds; & c'est le che min qu'il doit faire pour les placer & les relever.

Or pour sçavoir combien ce seroit de lieues & parties de lieues qu'il feroit , on sçait qu'un pas Géometrique vauts pieds , tellement que fi on divise les-171360 pars pieds valeur d'un pas, on trouvera. 34272 pas : On compte 2000 pas pour une lieue divisant donc 342772 pas par 2000, on aura 17 lieues à faire, & 272 pas davantage , qui valent un demiquart de lieue & 22 pas.

cela fait 1440 ,

Preuve.

Pour preuve qu'il cheminera 85680 pieds pour pofer lesdites pierres, il en faut tirer le douziéme,

II viendra 7140, qu'il faut doubler selon l'ordre de la preuve de la Progression naturelle ,. il viendra 14280, dont la racine quarrée sera 119,& 119 de reite; & c'est la preuve.

Dans les questions que je ferai à la fin, il y en aura plusieurs sur ce sujec, ce que ci-dessus n'étant que pour servir d'instruction.

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De la progression Géometrique.

A progression Géometrique est celle dont le Kéme au quatriéme ; par exemple, 2 eft à 4 en mê. me raison que 4 est à 8, parce que 2 elt contenu 2 fois en 4 , & 4 est aussi contenu deux fois en 8.

On appelle Progression Géometrique continue, quand le premier terme eit au deuxiéine , comme le troisiéme au quatriéme, comme il se verra ci après.

Dans la Progression Géometrique , fi plusieurs nombres sont proportionnaux continuement, la mul, tiplication des extrêmes est égale à la multiplication de ceux d'entre deux qui sont également éloignea des mêmes extrêmes.

Par exemple 2 4 8 16 32 64

La multiplication de 2 par 64 est égale à la mula tiplication de 4 par 32 , & à celle de 8 par 16.

Et fi d'aventure les nombres proportionnaux étoient en nombre impair, le quarré de celui du milieu seroit égal à la multiplication du premier & du dernier, c'ett-à-dire, des extrêmes.

Et de-là on peut tirer la solution de la question fuivante: Un Seigneur veut faire faire une Tour de 18 toises de hauteur, il a fait marché avec l'Entrepreneur à celle condition, qu'il payera 1 livre pour la premiere toise, 2 livres pour la deuxiéme toise, & 4 livres pour la troisiéme, 8 livres pour la qua

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Eriéme , ainfi de suite en doublant toujours jusqu'à la derniere, selon l'ordre de la Progression Géometrique; on demande combien coûteront les 18 toises de maçonnerie; il est nécessaire de trouver la vam leur de la dix-huitiéme toise, d'autant que deux fois fa valeur moins une livre est la valeur de ladite Tour , ayant 18 toises de hauteur.

Il faut considerer que le premier terme étant i livre, le deuxiéme sera 2, le croisiéme sera ainsi qu'il se voit de suire. Nombre des termes 1 ... 2... 3 ... 4...5..6..7.. 8 Valeur des termes I 4 8 16 32 64 128

On voit que le huitiéme terme est 128, lequel étant multiplié par soi-même, il viendra au produit 16384 pour le quinziéme terme : Or le quinziéme terme étant trouvé, on voit que la différence du quinziéme au dix huitiéme que l'on cherche , est la même que du premier au quatrieme ci-devant: ca dira donc par une simple Regle de Trois : Si un premier terme produit 8 pour quatriéme terme

que produira le quinziéme terme, qui est 16384, fa fant l'opération comme ci-après , il viendra 131072 pour le dix-huitiéme terme que l'on cherche.

2

1

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*

16384 ...... Is terme ; puis * Si i donne 8, comb. 16384 (on dira,

8 R.

131072 pour le dix-huitiéme terme que l'on cherche.

Mais fi on veut avoir la valeur des 18 termes, il faut doubler le nombre * ci-dessus trouvé moins I , à cause que la Progression est en railon sous-double, il viendra 262 143 liv. pour la valeur des 18 toises proposées.

Second Exemple. Un Crocheteur ayant une charge de 20 cotrets à vendre, il se présente un Bourgeois pour les ache. ter; ils conviennent de prix à telle condition que du premier coreret le Bourgeois en payeroic i denier, du deuxiéme il payeroit 3 deniers, du troisiéme 9 deniers ; & ainsi de suite en raison triple ; oa demande combien ledit Crocheteur devoit recevoir d'argent pour sa charge de cotrets.

La question ci-devant enseigne comment il faut procéder pour la résolution de celle-ci, c'est pour, quoi je me contenterai d'en faire l'opération. Nombre des termes. I 2 3 4 5 6 7 Valeur des termes 3 927 81 243 729 2187

Il se trouve 2 187 pour la valeur du huitiéme ter. me qu'il faut multiplier par soi-même, il viendra 4782969 pour le quinziéme cerme.

I

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