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On pourroit former fur ce fujet une queftion telle: Un Marchand a vendu 150 aunes d'étoffe, à condition que de la premiere aune il recevra 1 livre, de la deuxiéme 2 liv. & de la troifiéme 3 liv. & toujours en augmentant d'une livre, felon la naturelle Progreffion jufqu'à la derniere aune; on demande combien doit recevoir le Marchand.

Pour faire cette Regle, ajoutez le premier terme I avec 150 dernier terme, la fomme fera 151, qu'il faut multiplier par 75, moitié de 15b, & le produit donnera 11325 livres pour la valeur defdites 150

aunes.

Preuve.

La preuve fe doit faire par une autre queftion op pofée, difant:

Un Marchand a vendu un certain nombre d'aunes d'étoffe 11325 liv. il a donné la premiere aune pour I livre, la deuxième pour 2 livres, & la troifiéme pour 3 liv. & toujours en augmentant d'une livre jufqu'à la derniere aune ; on demande combien il a vendu d'aunes.

Pour faire cette Regle, il faut doubler le produit ci-devant trouvé qui eft 11325, il viendra 22650, dont la racine quarrée fera 150, & ce font autant d'aunes qu'il a vendues, obfervant qu'il faut que le refte de l'extraction fe trouve égal au quotient comme il fe verra ci-après par l'opération, autre ment la Regle feroit fauffe.

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Autre Queftion.

Il y a 120 pierres dans un pannter, que l'on pro pofe de placer en ligne droite, de forte qu'elles

foient éloignées l'une de l'autre de 6 pieds, mais à condition que celui qui les doit ranger, les prendra dans ledit pannier une à une pour les pofer; puis étant toutes rangées en leur place, il faut qu'il les releve toutes une à une pour les remettre dans ledit pannier où il les avoit prifes ; on demande combien il fera de chemin.

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Pour réfoudre cette queftion, il faut confidérer que les pierres étant pofées de 6 pieds en 6 pieds; pour parvenir jusqu'à la derniere, il fe trouvera 119 fois 12 pieds (à caufe qu'il faut aller & revenir) qui valent 1428, qui eft le dernier terme d'une Progreffion Arithmetique, de laquelle le premier terme eft 2 & la multitude des termes eft 119: Maintenant pour trouver combien il faudra qu'il chemine de pieds, j'ajoute 1428 avec 12, cela fait 1440, dont la moitié 720 étant multiplié par 119, le produit fera 85680 pour le nombre des pieds de l'étendue du chemin qu'il doit faire pour les placer; & s'il veut ramaffer lefdites pierres, & les remettre dans ledit pannier de même ordre, il fera obligé de cheminer encore autant; il n'y a donc qu'à doubler 85680, il viendra 171360 pieds; & c'eft le chemin qu'il doit faire pour les placer & les relever.

Or pour fçavoir combien ce feroit de lieues & parties de lieues qu'il feroit, on sçait qu'un pas Géometrique vaut 5 pieds, tellement que fi on divife les 171360 par 5 pieds valeur d'un pas, on trouvera 34272 pas: On compte 2000 pas pour une lieue divifant donc 34272 pas par 2000, on aura 17 lieues à faire, & 272 pas davantage, qui valent un demiquart de lieue & 22 pas.

Preuve.

Pour preuve qu'il cheminera 85680 pieds pour pofer lefdites pierres, il en faut tirer le douzième 2

I viendra 7140, qu'il faut doubler felon l'ordre de la preuve de la Progreffion naturelle, il viendra 14280, dont la racine quarrée fera 119, & 119 de reite; & c'est la preuve.

Dans les queftions que je ferai à la fin, il y en aura plufieurs fur ce fujet, ce que ci-deffus n'étant que pour fervir d'instruction.

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De la progreffion Géometrique.

A progreffion Géometrique eft celle dont le fiéme au quatriéme ; par exemple, 2 est à 4 en même raifon que 4 eft à 8, parce que 2 eft contenu z fois en 4, & 4 eft auffi contenu deux fois en 8.

On appelle Progreffion Géometrique continue quand le premier terme eft au deuxieme, comme le troifiéme au quatriéme, comme il fe verra ci après. Dans la Progreffion Géometrique, fi plufieurs nombres font proportionnaux continuement, la mul tiplication des extrêmes eft égale à la multiplication de ceux d'entre deux qui font également éloignez des mêmes extrêmes.

Par exemple 2 4 8 16 32 64

La multiplication de 2 par 64 est égale à la multiplication de 4 par 32, & à celle de 8 par 16.

Et fi d'aventure les nombres proportionnaux étoient en nombre impair, le quarré de celui du milieu feroit égal à la multiplication du premier & du dernier, c'est-à-dire, des extrêmes.

Et de-là on peut tirer la folution de la question fuivante: Un Seigneur veut faire faire une Tour de 18 toifes de hauteur, il a fait marché avec l'Entrepreneur à telle condition, qu'il payera 1 livre pour la premiere toife, 2 livres pour la deuxiéme toife, & 4 livres pour la troifiéme, 8 livres pour la qua

triéme, ainfi de fuite en doublant toujours jufqu'à la derniere, felon l'ordre de la Progreffion Géometrique; on demande combien coûteront les 18 toifes de maçonnerie; il eft néceffaire de trouver la valeur de la dix-huitiéme toise, d'autant que deux fois fa valeur moins une livre eft la valeur de ladite Tour , ayant 18 toifes de hauteur.

Il faut confiderer que le premier terme étant I livre, le deuxiéme fera 2, le troifiéme sera 43 ainfi qu'il fe voit de fuite.

Nombre des termes I ... 2... ·3 ... 4... 5..6..7..8 Valeur des termes r 2 4 8 16 32 64 128

On voit que le huitiéme terme eft 128, lequel étant multiplié par foi-même, il viendra au produit 16384 pour le quinziéme terme : Or le quinziéme terme étant trouvé, on voit que la différence du quinziéme au dix huitiéme que l'on cherche, eft la même que du premier au quatriéme ci-devant : cn dira donc par une fimple Regle de Trois : Si un premier terme produit 8 pour quatriéme terme, que produira le quinziéme terme, qui eft 16384, faifant Popération comme ci-après, il viendra 131072 pour le dix-huitiéme terme que l'on cherche.

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131072 pour le dix-huitié

me terme que l'on cherche.

Mais fi on veut avoir la valeur des 18 termes, il faut doubler le nombre ci-deffus trouvé moins 1, à caufe que la Progreffion eft en raifon fous-double, il viendra 262143 liv. pour la valeur des 18 toises propofées.

Second Exemple.

Un Crocheteur ayant une charge de 20 cotrets à vendre, il se préfente un Bourgeois pour les acheter; ils conviennent de prix à telle condition que du premier coteret le Bourgeois en payeroit 1 denier, du deuxiéme il payeroit 3 deniers, du troifiéme 9 deniers ; & ainsi de suite en raison triple; on demande combien ledit Crocheteur devoit recevoir d'argent pour fa charge de cotrets.

La queftion ci-devant enseigne comment il faut procéder pour la réfolution de celle-ci, c'est pourquoi je me contenterai d'en faire l'opération. Nombre des termes I 2 3 4 5 6 7 Valeur des termes I 3 9 27 81 243 729 2187

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Il fe trouve 2187 pour la valeur du huitiéme terme qu'il faut multiplier par foi-même, il viendra 4782969 pour le quinziéme terme.

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