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le fecond 28, & le troifiéme 39; mais ces trois nombres étant joints ensemble, ne font que 85, il devroit venir 100, il y a donc 15 moins de différence, partant nous poferons le nombre de notre secon de pofition, qui eft 18, fous la premiere pofition. 15, & la feconde différence 15 au-deffous de la pre miere différence 33: : comme il fe voit.

Différences.

Premiere pofition 15 moins 33
Seconde pofition 18 moins 15

Ayant ainfi rangé les deux pofitions & les deux différences, il faut multiplier en croix la premiere pofition par la différence de la feconde, & réciproquement la feconde pofition par la différence de la premiere, & des deux produits qui feront 5 4 & 225, il en faut prendre la différence, qui fera 369, qui fera le nombre à divifer. Il faut auffi ôter la petite différence is de la grande différence 33, le refte fee. ra 18 pour divifeur. Divifant donc 369 par 18, il viendra 20 au quotient pour la part du premier & par conféquent le deuxième en aura 33, & le troifiéme 46, lefquels trois nombres joints enfemble, font jufte les ioo livres propofées, & c'eft la preuve, commeil fe voit par l'opération fuivante.

Multiplications.

Produits.

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Différences.

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On gardera le même ordre que ci-deffùs, lorfque les différences feront toutes deux plus ou toutes deux moins.

Antre Opération de la même Queftion, dans laquelle il y a plus moins de différence,

Que le premier en prenne 30, donc puifque le fe cond en doit prendre deux fois autant que le premier moins 8, il en aura 52, & le troifiéme trois fois autant que le premier moins 15, il en aura 75, la fomme de tous les trois eft 30, 52 & 75, qui font enfemble 157, & ils ne doivent faire que 100, partant il faut mettre pour premiere pofition 30, plus 57 d'autant que nous avons excedé la condition de 57.

Maintenant pofens que le premier ait 15, puifque le fecond doit avoir le double du premier moins 8, il aura 22; le troifiéme ayant le triple du premier moins 15, aura 30, lefquels trois nombres 15 2.2 & 30 ne font que 67, qui font moins de 100 de 33, il y aura donc 33 moins de différence: Et pour avoir la folution, fi on multiplie l'excès 57 par 15, il vien dra 855, & le défaut 33 par 30, il viendra 990 x lefquels deux produits mis enfemble font 845, que

feront divifez par 90 qui eft la somme des erreurs 57 & 33, & le quotient fera 20 pour la part du

premier; la part des deux autres fe trouvera comme:

ci-devant.

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100 liv.

Autre Question.

Trois hommes fe trouvent ensemble par rencon tre, & s'entretenant de leur âge, l'un d'eux dit, tel a quatre ans plus que moi, & cet autre a autant d'âge que nous deux, & tous trois nous avons 148 ans,. fçavoir quel âge ils avoient chacun.

Pour réfoudre cette queftion felon les préceptes. ci-devant donnez, il faut fuppofer que le premier eut 20 ans, le fecond en auroit donc 24, & le troiféme 44, qui font en tout 88 ans, qui font 60 moins que le nombre que l'on cherche, puifqu'ils avoient tous trois 148 ans ; on écrira donc 20 moins 60 dif◄ férence pour la premiere pofition.

Pour feconde position on prendra 24 pour le prem. Le fecond aura donc

Et le troifiéme

28.

52 lefquels troisnombres font 104, & devroient faire 148, on a donc erré par moins de 44, c'eft pourquoi on pofera la

feconde hypothese 24 avec la différence 44, com

me il fe voit.

20 moins 60

24 moins 44

Puis faifant les multiplications & fouftractions; comme il a été enfeigné, il viendra 560 pour nombre à divifer, & 16 pour diviseur : Enfin faifant la division, il viendra 35 ans pour l'âge du premier Le refte eft facile.

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L

Es Progreffions font Arithmetiques, Géométri ques & Harmoniques. Pour l'Harmonique d'autant que l'ouïe eft l'arbitre coutumier de la Mufique, elle fert fort rarement à l'Arithmetique. Les deux autres Progreffions, fçavoir l'Aritmetique & la Géometrique font en ufage.

L

De la progreffion Arithmetique.

A Progreffion Arithmetique naturelle n'eft autre chofe qu'une fuite de nombres fe furmontant P'un l'autre naturellement par égale différence : comme I, 2, 3, 4, 5, &c, ou 2, 4, 6, 8, &c. Olk 3, 6, 9, 12, &c.

Toute Progreffion Arithmetique eft appellée natu relle, lorfque l'excès eft femblable au premier nombre, comme dans les trois exemples ci-deffus Si les excès du premier au fecond, du fecond au troifiéme, &c. font égaux, cette Progreffion s'appellera Progreffion Arithmetique continue, mais fi l'excès ou la différence du premier au deuxième eft égale à celle du troifiéme au quatriéme, & ainfi de deux en deux fans considérer les inter-moyens, elle s'appellera Progreffion Arithmetique difcontinue, comme il fe voit ci-dessous.

2 5....8... II ...

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.14.. 17. ... 20 continue. 4 7 8 9 ΤΟ 13 14 discontinue. En toutes Progreffions Arithmetiques, foit continue ou difcontinue, quand les termes font en nombre pair, la fomme des termes eft égale à la fomme des inter-moyens également diftans des extrêmes comme l'exemple ci-après le démontre.

Exemple.

14

ΙΘ

14

Pour avoir la omme de tous les termes d'une Progreffion Arithmetique continue, il faut ajouter le premier & le dernier enfemble, & multiplier la fomme par la moitié du nombre des termes, le pro duit donnera là fomme de tous les nombres.

6 8 ΙΟ

Exemple.

12

14

16 18

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On voit que la fomme des deux extrêmes eft zz & la multitude des termes eft 8, dont la moitié est 4; multipliant donc 22 par 4, le produit fera 88 pour la fomme de tous les termes.

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