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le second 28, & le troisiéme 39 ; mais ces trois nombres étant joints ensemble , ne font que 85, il devroit venir 100', il y a donc rę moins de différence, partant nous poserons le nombre de notre seconde position, qui est 18 , sous la premiere position 15,& la seconde différence is au-dessous de la pre miere différence 33 : comme il se voit.

Différences. Premiere position 15 moins 33 Seconde position 18 moins is

Ayant ainsi rangé les deux positions & les deux différences , il faut multiplier en croix la premiere position par la différence de la seconde , & réciproquement la seconde position par la différence de la preiniere , & des deux produits qui seront 5 4. & 225, il en faut prendre la différence, qui sera 369 , qui fera le nombre à diviser. Il faut aussi ôter la petite différence is de la grande différence 33 , le rette fee ra 18 pour divisevr. Divisant donc 369 par 18, ilviendra 2o au quotient pour la part du premier , & par conséquent le deuxième en aura 33, & le troisiéme 46 , lesquels trois nombres joints ensem. ble, font juste les 100 livres proposées, & c'est la prenye, commeil se voit par l'opération suivante..

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Multiplications. Produits. Différences,
33
IS
594

33
18
is
225

IS 264 75 divid. 369 diyiseur 18 33

IS
Prod.

594 Prod. 225

369

(20 part du premier. 388 33 part du fecond.

40 part du troisiéme.

too

Preuve. On gardera le même ordre que c-dessus, lorfque les différences seront toutes deux plus ou toutes deux moins.

Antre Opération de la même Question, dans laquelle

il y a plus 6 moins de difference,

Que le premier en prenne 30, donc puisque le fer cond en doit prendre deux fois autant que le premier moins 8, il en aura 52 , & le troisiéme trois fois aua tant que le premier moins 15, il en aura 75 , la somme de tous les trois est 30, 52 & 75 , qui font ensemble 157, & ils ne doivent faire que 100, partano il faut mettre pour premiere position 30, pius 57 s d'aurant que nous avons excedé la condition de 57.

Maintenant posens que le premier ait 15 , puisque le second doit avoir le double du premier moins & il aura 22 ; le troisiéme ayant le triple du premier moins 15, aura 30, lesquels trois nombres 15 , 27 & 30 ne font que 67 , qui font moins de 1oo de 339 il

у aura donc 33 moins de différence : Et pour avoir: la solution , si on multiplie l'excés 57 par 15, il vien. dra 855, & le défaut 33 par 30, il viendra 990 , lesquels deux produits mis ensemble font 1845, que

+

seront divisez par 90 qui est la somme des erreurs, 57 & 33, & le quotient fera 20 la

part

du premier; la part

des deux autres se trouvera comme: ci-devant.

Opération de la Regle. 30 plus 57

990 15 moins

IS

855 go diviseur 285

1845 à divid 30

( ser.

57

33

33

57

990

855

2845

(20 pour le premier. 986 33 · pour le second.

46 pour le troisiéme..

a

Preuve

100 liv.

Autre Queftion, Trois hommes se trouvent ensemble par rencona tre, & s'entretenant de leur âge, l'un d'eux dit , tel

quatre ans plus que moi , & cet autre a autant d'â. ge que nous deux, & tous trois nous avons 148 ans, Içavoir quel âge ils avoient chacun.

Pour résoudre cette question selon les préceptes ci-devant donnez, il faut supposer que le premier eut 20 ans, le second en auroit donc 24, & le troi. fiéme 44 , qui font en tout 88 ans, qui sont 60 moins que le nombre que l'on cherche, puisqu'ils avoient tous trois 148 ans; on écrira donc 20 moins 60 dita férence pour la premiere position. Pour seconde position on prendra 24 pour le prem. Le second aura donc

28 Et le troisiéme

52 lesquels trois nombres font 104, & deyroient faire 148, on a donc erré par moins de 44 , c'est pourquoi on pofera la

feconde hypothese 24 avec la différence 44, com«. me il se voit.

20 moins 60

24 moins 44 Puis faisant les multiplications & soustractions, comme il a été enseigné, il viendra 560 pour nombre à diviser, & 16 pour diviseur : Enfin faisant la division , il viendra 35 ans pour l'âge du premier ; Le refte est facile.

Opération de la Division.
8
866

( 35 ans pour le premier.

39 pour le second.

I 74 pour le troisiéme.
Preuye 148 ans. Ainfi des autres.

DES PROGRESSIONS.

L

Es Progressions font Arithmeriques, Géométri

ques & Harmoniques. Pour l'Harmonique, d'autant que l'ouïe est l'arbitre coutumier de la Mufique , elle sert fort rarement à l'Arithmetique. Les deux autres Progressions, sçavoir l'Aritmetique & la Géometrique sont en usage.

De la progression Arithmetique. L

A Progression Arithmetique naturelle n'est au

tre chose qu'une suite de nombres se surmontant l'un l'autre naturellement par égale différence : comme 1, 2, 3,4,5, &c, ou 2,4,6,8, &c. ob. 3,6,9,12, &c.

Toute Progression Arithmerique est appellée natum relle, lorsque l'excès eit semblable au premier nombre, comme dans les trois exemples ci-dessus : Si les excès du premier au second, du second au troisiéme , &c. sont égaux, cette Progression s'appellera Progression Arithmetique continue , mais fi l'excès ou la différence du premier au deuxiéme est égale à celle du troisiéme au quatriéme , & ainsi de deux en deux sans considérer les inter-moyens , elle s'appellera Progression Arithmetique discontinue , comme il se voit ci-dessous. 51...8... II ...

.. 14 .. 17 ... 20 continue. 8 9

13 14 discontinue. En toutes Progressions Arithmetiques , soit continue ou discontinue , quand les termes sont en nombre pair , la somme des termes est égale à la fomme des inter-moyens également distans des extrêmes y comme l'exemple ci-après le démontre.

4

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14 Pour avoir la imme de tous les termes d'une: Progreffion Arithmetique continue, il faut ajouter le premier & le dernier ensemble, & multiplier la fomme par la moitié du nombre des termes , le produit donnera la somme de tous les nombres.

Exemple. 4 8

14 16 On voit que la soinme des deux extrêmes est zz & la muluiiude des termes eit 8, dont la moitié est 4; multipliant donc 22 par 4, le produit sera 82 pour la somme de tous les termes.

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