tient donnera 75, c'est-à-dire 75 aunes que l'on au ra pour les 225 livres.

Operation.

Si 135 livres 45 aunes, combien 235 livres. R. 75 aunes.

45

Preuve.

Pour faire la preuve de cette Regle, & généralement de toutes les autres, on fera une feconde Regle de Trois contraire à la précédente, en feignant d'ignorer combien on aura d'aunes de drap pour 135 livres, difant:

Si pour 225 livres j'ai eu 75 aunes de drap, combien aurai-je d'aunes pour 135 liv.

Ayant difpofé la Regle de Trois comme ci deffus, multipliez le troifiéme terme par le deuxième, fçavoir 135 par 75, comme il a été enfeigné, il viendra 10125 au produit qu'il faut diviser par 225 premier terme, & le quotient donnera 45 aunes pour 135 liv. comme il a été proposé.

Opération.

Si 225 livres 75 aunes, combien 135 livres. R. 45 aunes.

I

10128

75

2288

九九

10125

La même Regle de Trois se peut encore prouver

ainfi, difant :

Si 45 aunes coûtent 135 liv. combien 75

R. 225 livres, elle fe peut encore prouver ainfi : Si 75 aunes coûtent 225 liv. combien 45 aunes. liv. comme ci-devant.

R.

135

Il est certain par cette démonftration qu'une Regle de Trois fe prouve en autant de façons qu'elle a de termes.

Avertiffement fur la preuve de la Regle de Trois.

Comme dans la Regle de Trois il arrive affez fouvent que faifant la Divifion du produit par le premier terme, il refte quelques livres ou autres efpeces à divifer, dont il faut faire la réduction en moindres efpeces, pour en faire encore la Division, après avoir multiplié le troifiéme terme par le deuxiéme, ou aucontraire, je trouve à propos, avant que de paffer à la Divifion qu'il convient de faire enfuite, de prouver cette Multiplication, ce qui fe fait en divifant le produit d'icelle par l'un des deux nombres, & viendra l'autre, c'eft-à-dire, que fi on divife le produit par le troifiéme terme de la Regle de Trois, le quotient donnera le deuxième, fi on divife par le deuxième, le quotient donnera le troifiéme, & c'est la preuve.

La raifon pourquoi il eft à propos de prouver la Multiplication, c'eft que fi elle étoit fauffe, & que l'on divisât le produit d'icelle par le premier terme felon le précepte de la Regle de Trois, la Division & toutes les autres opérations que l'on feroit, feroient fauffes; au lieu que la Multiplication étant prouvée, fi on fait la Division enfuite pour trouver le quatriéme terme de la Regle de Trois, on eft feulement obligé de prouver la Division tout fimplement, en multipliant le quotient d'icelle de telle efpece qu'il eft par le divifeur, pour trouver le produit ou le nombre qui a été divifé, en ajou tant le reste de la Divifion, s'il y en a, comme il fe verra dans la Regle de Trois fuivante, dont je fe rai l'opération toute entiere avec la preuve au pied."

Autre Question fur la Regle de Trois ;
avec la preuve.

aunes de marchandise ont coûté 356 liv. on demande combien coûteront 98 aunes au même prix.

Opération.

Si 77 aunes 356 liv. 98 aunes.

98

Preuve de la multiplication

8

2848

84

カカ

Ayant fait la Divifion ci-deffus, il est venu 453 livres 1 fol 9 deniers pour la valeur des 98 aunes & refte 63 deniers par-deffus le tout, que l'on rapportera à la preuve.

Preuve de la Regle de Treis ci-deffus.

D'autant que la Multiplication ci-devant a été prouvée, il n'y a qu'à prouver la Divifion du produit qui eft 34888 par le premier terme qui eft 77, fçavoir en multipliant le quotient 453 liv. 1. fol 9 deniers par le divifeur 77,til viendra au produit de la Multiplication le nombre à diviser, qui eft 34888 livres, en ajoutant les 63 deniers reftez de la Divi fion des deniers.

Ayant fait la Multiplication, fon produit est venu égal au nombre à divifer, & c'eft la preuve.

On pourroit prouver la même Regle d'une autre façon, fçavoir par une autre Regle de Trois, comme il a été enfeigné, disant :

Si 98 aunes coutent 453 livres I fol 9 deniers, combien couteront 77 aunes.

La Regle étant ainfi difpofée, fi on multiplie 77 troifiéme terme, par 453 liv. 1 fol 9 den. deuxième terme, & que l'on ajoute le refte de la Division des deniers, qui eft 63 den. il viendra au produit 34888 que l'on divifera par 98 pour avoir 356 liv. pour la valeur des 77 aunes, comme veut la queftion, & c'est la preuve.

Ces deux manieres font générales pour la preus ve des Regles de Trois fimples, directes ou ins verses.

Abbréviation pour la Regle de Trois.

'Ai dit ci - devant que le premier nombre d'une

du deuxième

que le troifiéme l'eft du quatrième, ainfi il fe trou

vera plufieurs Regles de Trois, où l'on pourra ab brévier l'opération, comme dans cet exemple.

Si 7 aunes de drap coûtent 63 liv. combien coû teront 49 aunes; je confidere que l'on peut prendre pareille partie du premier nombre 7, que du deuxième 63; car fi du premier nombre 7 j'en prens la feptiéme partie, il viendra ; fi je prens la feptiéme partie du fecond terme qui eft 63, il viendra 9; par cette maniere la Regle de Trois fera réduite à plus petits nombres, comme il se voit.

Opération.

Si 7 aunes coutent 63 liv. combien 49 aunes.
Ou par abbréviation

Si une aune coute 9 livres, combien 49 aunes. R. 441 livres.

On voit que le premier terme qui eft 1 ne di. vife point, par conféquent il n'y a qu'à multiplier les deux derniers nombres, fçavoir 9 par 49, il viendra 441 pour la valeur requife des 49 aunes, comme veut la questior.

Autre Question.

16 aunes de toile ont couté 12 livres, combien

Conteront 20 aunes.

Vous voyez en cet exemple que le premier terme ne fe peut abbrévier jufqu'à l'unité,cela n'empêche pas d'abbrévier le premier & fecond, en prenant le quart de 16 & le quart auffi de 12 puis

dire:

R.

Si 4 aunes coutent 3 livres, combien 20 aunes. 15 livres.

Ou bien d'abbrévier le premier & le troifiéme, prenant le quart de 16 & le quart de 20, il viendra 4 & 5, puis dire:

Si 4 coutent 12, combien 5 ; & faifant la Regle par l'une & l'autre méthode; il viendra le même quatriéme terme que l'on cherche, comme il fe voit ci-deffous.