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Divifion par livres, fols & deniers.

Velques-uns fe formaliferont peut-être de l'ordre que j'ai gardé jusqu'ici, en ce que j'ai expliqué la Multiplication & Divifion par livres, fols & deniers féparément de la Multiplication & Divifion en nombres entiers; mais fi on confidere que dans les Multiplications & Divifions des fousefpéces, comme de l'aune, de la toife, comme auffi du marc & de leurs parties, &c. il arrive souvent qu'il faut mettre en pratique les nombres rompus; on verra que j'ai dû entremêler le Traité des Fractions Arithmetiques, & l'expliquer enfuite des quatre opérations d'Addition, Souftraction, Multiplication & Division en entiers, fans lesquelles on ne peut parvenir à la connoiffance des mêmes quatre opérations en Fractions; outre que la vraie preuve d'une Multiplication par livres, fols & deniers, foit d'aunes ou toises entieres, même en fractions,

ne fe peut faire que par la Divifion, comme je le ferai voir ci-après dans les queftions fuivantes fur la Divifion, qui ferviront de preuve aux Multiplications précédentes cotées chacune en fon endroit.

Pour l'opération de la Division des livres, fols & deniers, il n'y a rien à observer outre ce qui a été expliqué pour la Divifion des entiers ci-devant, finon que fi on divife les livres, & qu'à la fin de la Division il en refte quelque nombre ce reste eft compté pour autant de livres qu'il faut réduire en fols, en les multipliant par 20, & les fols qui en proviendront, feront divifés par le même divifeur des livres, s'il fe peut. Et fi après ia Division des fols il refte quelque nombre de fols qui ne se puiffe divifer, on les réduira en deniers, en les multipliant

par 12, & les deniers qui en proviendront, feront divifés de même par le divifeur commun des livrés & des fols; & s'il reste encore quelque nombre de deniers, il les faut rapporter à la preuve, après les avoir réduits en livres, fols & deniers, s'il y échet; ou bien s'il eft befoin de procéder encore à une subdivifion, on réduira ces deniers reftans en oboles pour être divifées de même que les livres, fols & deniers.

Pour l'intelligence de ce qui eft dit ci-deffus, je ferai la queftion fuivante.

Il y a 9548 livres à partager également entre 365 perfonnes, on demande combien chacun aura pour Ta part.

Divifez 9548 livres par 365, il viendra au quotient des Divisions 26 livres 3 fols 2 deniers pour la part de chacun, & il reftera so deniers, qui valent fols 2 deniers par-deffus le tout que l'on rappor tera à la preuve.

Opération
S

1160

5 786

(261.

( 3 f.

( 2 den.

3368

1160 f.

5

780 d.

Ayant fait les Divisions, il eft venu 26 liv. 3 fols 2 den. pour la part de chacun, & il refte so deniers qu'il faut rapporter à la preuve.

Preuve de la Divifion ci-dessus, par 9.

Comme j'ai prouvé par la preuve de 9 les regles ci-devant d'Addition, Souftraction & Multiplica

tion par livres, fols & deniers, je me trouve obligé de prouver la Divifion par livres, fols & deniers par la même preuve de 9.

Elle fe fait ainfi : Il faut faire une croix en quelque part, puis tirer la preuve du diviseur 365, il vient 5, qu'il faut écrire au haut de la croix.

Enfuite il faut tirer la preuve du quotient 26 liv. 3 fols 2 deniers, en doublant aux livres & triplant aux fols, comme il a été enseigné ci-devant page 14, il viendra auffis que l'on pofera au bas de la

croix.

Enfuite il faut multiplier les deux preuves l'une par l'autre, fçavoir par 5, il viendra 25, dont la preuve eft 7, aufquels j'ajoute les 5 des 50 deniers reftez, il vient 12, dont la preuve eft 3, qu'il faut écrire à côté de la croix.

Enfin il faut tirer la preuve du nombre à divifer 9548, il vint 8, que je double à caufe qu'il y a livres & fols au quotient, il vient 16, dont la preu ve eft, que je triple à caufe qu'il y a auffi deniers au quotient, il vient 21, dont la preuve eft 3, com me il eft requis.

Et fi au nombre à diviser il y avoit livres, fols & deniers, il faudroit obferver le même ordre de doubler aux livres, & tripler au fols pour en tirer la preuve.

Preuve de la même Divifion ci-dessus

par Multiplication.

J'ai enseigné ci-devant que la Division se prouve par la Multiplication, & qu'il faut toujours multiplier le quotient par le diviseur pour trouver le nombre à divifer, en ajoutant au produit le refte de la Division, s'il y en a.

La raison eft générale pour toutes les Divisions foit que la Divifion foit de nombres entiers feulement, ou de livres, fols & deniers.

Tellement que fi on veut prouver la Division cię

deffus, ou le nombre à diviser eft 9548 livres, le diviseur 365 perfonnes, & le quotient 26 liv. 3 fols 2 deniers avec 50 deniers de refte.

Il faut multiplier 365 divifeur par 26 liv. 3 fols 2 deniers, & ajoutant so deniers reftans qui valent fols 2 deniers, le produit donnera le nombre à difer, qui eft 9548 livres.

4

Opération.

à multiplier.
3 fols 2 deniers.

Produit 9548

la preuve.

Les deux preuves de la Division ci deffus par 9 & par Multiplication, ferviront de modele pour prouver toutes les autres Divisions où il s'agira de livres, fols & deniers. C'eft pourquoi dans les opérations fuivantes, je ne parlerai point de la preuve.

Il y a encore une autre preuve de la Division laquelle fe fait par la Divifion même ; fçavoir en divifant le nombre à divifer par le quotient, il viendra le divifeur.

Il faut obferver, fi au quotient il y a livres, fols & deniers, comme en l'exemple ci deffus, de réduire le nombre à diviser, & le quotient auffi tout en deniers, puis divifant les deniers de l'un par les deniers de l'autre, il viendra jufte le divifeur, & s'il eft refté quelque nombre de deniers à diviser dans la premiere Division, le même nombre de deniers doit refter dans cette feconde, & c'est la preuve.

Avertiffement fur la reducion des livres en fols, des fols en de iers reftans d'une Divifion.

Il faut remarquer que pour réduire des livres reftantes d'une Divifion en fols, il faut pofer un zero en quelque part pour le zero de 20, parce que la livre vaut 20 fols, & multiplier les liv es reftantes par le 2 du même 20, dont le produit fera mis avant le zero, lequel produit fera tout prêt pour être divifé par le même divifeur des livres, fans avoir la peine de transporter lesdites livres pour les réduire.

Enfuire fi on veut réduire les fols reftans d'une Divifion en deniers, on multipliera chaque carac tere des fols reftés par 12 deniers tout d'un coup, comme fi le nombre 12 n'étoit qu'un fimple caractere, attendu, par exemple, que la Multipli cation de 12 par 5 n'eft pas plus diffi ile à faire que de multiplier 7 par 8, ou par quelqu'autre figure, puifqu'il n'y a qu'à regarder la Table de Multiplication, page 31, & l'apprendre par cœur, & qu'elle, eft auffi-bien dreffée pour 12 multipliez par 5,6, &c. comme pour 9 multipliez par 6, 7, ou

ou 7,

8,

&c.

Ce que j'ai obfervé dans toutes les opérations de Divifions fuivantes contenues dans mon Arithmetique, à la réserve de la premiere Divifion cideffus, où j'ai fait les opérations de réductions tout au long, pour fervir de modele à ceux qui ne feroient pas encore affez stilez à cette réduction abbrégée.

Il faut encore remarquer qu'après avoir fait la Divifion des deniers, s'il en refte, il faut les réduire en fols, en les divifant par 12, ou en tirant le douziéme qui eft la même chose, dont il viendra des fols & deniers, s'il y écher, puis après on réduira ces fols en livres, s'il fe peut ; & ce refte de deniers étant ainfi réduit en livres, fols & deniers,