E Premiere Réduction, TANT donné une grande fraction, la réduire en une moindre dénomination. Réduire à moindre dénomination, c'est trouver de plus petits nombres que ceux par lesquels la fraction propofée eft exprimée, & qui faffe la même valeur, puifque les nombres qui font en même raison font les fractions égales, & qu'il eft plus facile d'opérer par une petite fraction que par une grande. Par exemple, font égaux à auxquels ils font réduits,comme vous le verrez ci-après pour la Regle. Pour opérer en cette réduction, l'une eft tâtonneufe à ceux qui ne connoiffent point la puiffance des nombres, mais prompte à ceux qui la connoiffent; l'autre eft par une doctrine certaine & infaillible: je les expliquerai toutes deux. Soit propofée la fraction à réduire à plus petite dénomination. Il faut trouver un nombre par lequel on puiffe divifer le Numérateur 9, & le Dénominateur 12 en même-temps fans refte. Pour faire cette réduction, je trouve que 3 peut fervir de divifeur à 9 & à 12; car prenant le tiers de 9, vient 3; prenant auffi le tiers de 12, vient 4, que je pofe l'un fous l'autre en fraction, & ce font égaux à, ainfi des autres. 129 Mais fi les nombres de la fraction proposée font fi grands, que l'on ne puiffe pas les réduire tout-d'uncoup à la plus petite dénomination requife, comme dans l'exemple ci-deffous; alors on fe fervira de plufieurs divfions continuées, comme dans l'exemple fuivant. 144 Exemple. La fraction eft proposée à réduire à plus petite dénomination ; je regarde par quel nombre je pour. rai divifer le numérateur & le dénominateur en même-temps, exactement fans refte, comme par 2, 3, 4, 6, &c. enfin par quelque nombre que je le puiffe faire , pourvu qu'il ne refte rien. La premiere divifion étant faite de deux quotients, j'en forme une autre fraction, puis je confidere fi le numérateur & le dénominateur de cette feconde fraction peuvent être encore divifés par un même nombre fans refte. Cette feconde divifion faite des quotients, j'en forme encore une autre fraction, & ainfi de fuite, jufqu'à ce que j'aie trouvé une fraction de laquelle le numérateur & le dénominateur ne puiffent plus être divifés par un même nombre, car alors ce fera la plus petite dénomination requife. Conftruction de la réduction de 24 à plus petits nombres. 144 Pour la faire, je divife 96 par 4, il vient 24 ; je divife auffi 144 par 4, il vient 36, c'est-à-dire 4. Je divife encore 24 par 4, il vient 6, & 36 aussi par 4, il vient 9, & ce font . Enfin, je divife 6 par 3, il vient 2, & 9 auffi par 3 il vient 3, c'eft-à-dire pour les plus petits nombres faifant une fraction égale à comme il fe voit ci-deffous par l'opération. 96 24 6 2 96 1449 144 égaux à 25. 144 Preuve de la Réduction d'une grande fraction à une plus petite qui lui foit égale. Pour preuve qu'une grande fraction est égale à une petite, en laquelle elle eft réduire, ou qu'une petite eft égale à une grande; Il faut toujours divifer le numérateur de la grande fraction par le numérateur de la petite, viendra. un nombre. Il faut auffi divifer le dénominateur de la grande fraction par le dénominateur de la petite, & viendra le même nombre. 144 Comme dans l'exemple de 2 que nous avons réduits à fi on divife 96 par 21, viendra 48. 144 Si on divife pareillement 144 par 3, viendra 48 comme deffus, ce qui dénote l'égalité qu'il y a entre &, ainfi des autres,& c'eft la preuve. Pour faire mieux connoître la raison de la preuve ci-deffus de la réduction de 2 à, je dirai que le même quotient qui fe trouve en divifant 96 par 2, & 144 par 3, eft la même chofe qui fi on vouloit divifer 96 liv. à 144 perfonnes, parce que chacune auroit autant pour fa part que fi on vouloit partager 2 liv. à trois perfonnes; favoir 13 f. 4den. qui font les deux tiers de 20, & partant on doit s'affurer que la preuve ci-deffus eft générale & infaillible, pour voir s'il y a égalité de valeur entre deux fractions dont l'une eft connue, & l'autre ne l'eft pas, comme il fe verra dans les regles d'Addition, Souftraction, Multiplication & Divifion en fractions, ci-après où il fera fouvent néceffaire de prouver l'égalité des deux fractions. 96 La réduction de la fraction ci-deffus, fe peut faire d'un autre façon, ainfi que je l'ai dit ci-devant; il faut divifer le dénominateur 144 par le numérateur 96, viendra I au quotient, & reftera 48: & fans avoir égard au quotient, il faut divifer le divifeur 96 par le refte, qui eft 48, viendra 2 au quotient, & ne refte rien; d'où s'enfuit que 96 & 144 fe peuvent divifer chacun par 48, dernier divifeur: tellement que divifant 96, par 48, il vient 2: divifant auffi 144 par le même 48, il vient 3, puis pofant les deux quotients 2 & 3 l'un fur l'autre, vient, égaux à 144 Comme ci-deflus. 96 Avertiffement fur la réduction des Fradions. expriment la fraction, foient très-grands, il eft néanmoins impoffible de réduire la fraction à plus petite dénomination, parce que les nombres , quoique grands, ne peuvent pas être divifés en même-temps par un même divifeur fans refte. 48 Exemple. ni 13 font propofés à réduire à plus petite dénomination on voit que 48 peuvent fe divifer par 2, par 3, par 4, &c. il n'importe; mais 13 ne peuvent fe divifer par aucun de ces nombres, ni par 2, par 3, ni par 4, enfin, ils ne peuvent fe divifer par aucun divifeur, fans qu'il y ait du refte; c'eft pourquoi il faut que la fraction demeure en mêmes termes qu'elle eft exprimée. 144 48 Autre Exemple. 24 eft encore une fraction qui ne peut pas se réduire à plus petite dénomination; car 25 peuvent être divifés par 5, mais 144 ne le peuvent pas être ; 144 peuvent être divifés par 4, & 25 ne le peuvent pas être, tellement qu'il faut que la fraction demeure en tels termes qu'elle eft proposée. Preuve. Et pour prouver qu'une fraction comme ci-deffus propofée ne peut fe réduire à plus petite dénomi nation Divifez le dénominateur 144 par le numérateur 25, il viendra 5 au quotient, & reftera 19à diviser par 25, c'est-à-dire 12. 19 Eufuite divifez 25 par 19, il viendra I au quotient, & reftera 6, c'eft-à-dire,. Divifez encore 19 par 6, il viendra 3, & reftera 1, qui eft une marque que la fraction ne peut le réduire à plus petits termes. La raifon eft que toute fraction de laquelle le numérateur & le dénominateur n'ont point de commune mefure, finon l'unité, eft en plus petits termes qu'elle fe puiffe exprimer. 19 Opération de la Divifion. E Seconde Réduction. TANT donné un ou plufieurs entiers, les réduire en telle dénomination que l'on voudra. Il faut multiplier l'entier ou les entiers par le dénominateur demandé, & mettre le produit fur une ligne pour numérateur, & le dénominateur au-deffous, & la fraction fera la réponse. Exemple. On veut réduire 3 entiers en une fraction qui ait 6 pour dénominateur; c'eft comme fi on difoit: On demande combien trois aunes contiennent de fixiemes. Pour faire cette réduction, multipliez les aunes par 6, il viendra 18, qu'il faut écrire fur une ligne pour numérateur de la fraction, & le 6 au-deffous pour dénominateur, & l'on aura égaux à 3 entiers, ou 3 aunes. Pour preuve, divifez le numérateur 18 par le dénominateur 6, il viendra 3 au quotient, c'est-à-dire 3 entiers, ou 3 aunes, &c. E Troifieme Réduction. TANT donné entiers & fractions réduire tout en une même fraction. Il faut multiplier les entiers par le dénominateur de la fraction, & ajouter au produit le numérateur de la même fraction, la fomme fera le numérateur |