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connoiffance du quotient, on dira en 31 combien de fois 3 on voit que naturellement il eft 10 fois; mais comme on ne peut mettre au quotient que 9, fuppofant donc neuf dans fon efprit, ou le pofant à l'écart, fans l'écrire au quotient, jufqu'a ce que l'on ait examiné s'il peut y entrer; on multipliera la premiere figure du divifeur, qui eft 3, par ce 9 fuppofé, il viendra 27 au produit, qui ôtés de 31, refte 4 à écrire fur I de 31: on continuera de multiplier la feconde figure du divifeur 5 par le quotient 9, difant: 9 fois 5 font 45, qui ôtés de 48, refte 3 à écrire fur 8. Enfin on dira, 9 fois 7 font 63, qui ne peuvent être ôtés de 34 qui restent ; & partant on voit que c'eft trop de mettre 9, parce que 9 fois 357 divifeur font plus que 3184 reftant à divifer; on pofera donc moins, c'est-à-dire 8, & encore faut-il voir s'il y entrera par l'ordre ci-deffus expliqué, & opérant

3

77

12

*

Seconde & derniere opération.

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(18,& refte 328 qui ne fe peut divifer, c'eft-à-dire,

328

* Ainfi qu'il vient d'être enfeigné, il viendra 18 pour véritable quotient de la Divifion, & reftera 328 de telle chofe que l'on aura divifée, qu'il faudra écrire fur une ligne, & le divifeur 357 audeffous, & ce refte eft appellé Fraction, de laquelle il fera parlé ci-après dans le Traité des Fractions ou bien lorfque je traiterai de la Divifion par livres

fols & deniers, où je rapporterai ce même exemple. Preuve de la Divifion.

La Divifion, auffi-bien que les trois autres Regles précédentes, fe prouve en deux façons; favoir, par la preuve de 9, & par la Multiplication qui eft fon contraire, & la plus affurée.

Et premiérement de la preuve par 9.

La preuve de la Division se fait ainfi. Après avoir fait une croix, on commencera à compter par le divifeur comme dans la Regle ci-deffus, où le divifeur eft 357, & dire 3 & 5 font 8, & 7 font 15; defquels rejetant 9, le refte eft 6, que l'on écrit au haut de la croix, de-là on paffe au quotient qui eft 18, difant: 1 & 8 font 9, dont la preuve eft zéro, qui fera pofé au bas de la même croix ; puis il faut multiplier les deux preuves l'une par l'autre, difant: 6 fois zéro eft zéro: il faut remarquer que s'il n'y avoit rien de reste à la Division, il faudroit écrire zéro au bras gauche de ladite croix. Mais à caufe qu'il y a 328 de refte à la Divifion, il en faut tirer la preuve, & le furplus de 9 fe trouve 4, que l'on doit écrire audit bras gauche de la croix au lieu du zéro, obfervant toujours de rechercher le reste de la.. Divifion, s'il y en a , pour en tirer la preuve. Enfin il faut tirer la preuve de 6754, nombreà divifer, & le furplus de 9 eft 4, qu'il faut écrire à l'autre bras de la croix ; & comme les deux reftes du bras gauche & du bras droit de la croix fe trouvent égaux, la Divifion eft eftimée bien faite, comme il fe voit par l'opération ci-deffus. On fera de même pour la preuve par 9 des autres Divisions en nom

bres entiers.

De la preuve de la Divifion par la Multiplication. Pour faire la preuve de la Divifion ci-deffus, & généralement de toutes les Divifions, il faut multiplier le quotient d'icelle par le divifeur, ou le divifeur par le quotient indifféremment, & ajoutant le

refte de la Divifion, s'il y en á, la fomme viendra égale au nombre à divifer,fi la Regle eft bien faite; fi elle vient autrement, la Regle eft fauffe.

Opération de la preuve de la Divifion ci-dessus.

Par

Produit

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6754 qui eft le nombre que l'on a di

vifé, & c'est la preuve. Ainfi des autres.

Preuve de la Multiplication en nombre entier par la Divifion.

Ayant fait la Multiplication ci-deffus, il faut divifer le produit d'icelle par le nombre à multiplier, & il viendra au quotient le multiplicateur.

Ou fi on divife le produit par le multiplicateur, il viendra au quotient le nombre à multiplier, comme il fe voit par les opérations fuivantes, tant de Multiplication que de Divifion.

Exemple de la Multiplication.

On veut multiplier. 706 par 57.
Opération.

Nombre à multiplier. 705 4

Multiplicateur.

Produit

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40242*

Cette Regle de Multiplication a été opérée, page

34, & je l'ai répétée ici pour en faire voir la preuve.

Deuxieme

Deuxieme méthode de divifer, nommée à l'Espagnole, plus facile que la précédente.

A

:

YANT bien entendu l'explication ci-deffus pour l'opération de la Divifion, felon la méthode à la Françoife, il fera bien facile d'entendre comment. il faut opérer par cette feconde, laquelle ne differe point de la précédente pour la prévoyance & la pofition des figures du quotient. Elle fe fait ainfi il faut difpofer les figures du divifeur fous le nombre à divifer, comme il a été enfeigné, & chercher de même façon combien de fois le diviseur eft contenu dans le nombre à divifer, & pofer au quotient, pour chaque opération, la figure qui exprime la quantité de fois que le divifeur eft contenu dans le dividende fupérieur, comme il fe voit par l'opération ci-deffous.

Exemple.

On veut divifer 6754 livres à 357 perfonnes; on demande combien chacune aura pour la part. fa

Somme à divifer

Divifeur

318 67784

(I quotient.

3877

La fomme à divifer étant ainfi pofée, & le divifeur au-deffous, il faut voir combien de fois 3 est contenu en 6: on voit qu'il y eft 2 fois naturellement, mais qu'il n'y peut entrer qu'une fois, parce que 2 fois 357 font plus que 675 qui font deffus ; il faut donc pofer 1 au quotient.

Le quotient 1 étant ainfi pofé, on dira, en rétrogradant de la droite à la gauche, felon l'ordre de la Multiplication, I fois 7 eft 7: qui de 5 ôte 7, cela ne fe peut; mais qui de 15 ôte 7, il refte 8, que j'é

C

cris fur le 5, lequel nombre de 15 eft composé d'u ne dixaine empruntée fur la colonne prochaine, du 5, on dira donc, je retiens une dixaine.

Enfuite il faut dire, I fois 5 eft 5, & une dixaine empruntée font 6; qui de 7 ôte 6, il refte I, que j'écris fur 7.

Enfin je dis, I fois 3 eft 3; qui de 6 ôtez, il refte 3. Seconde opération.

La premiere opération étant ainfi achevée, on écrira le divifeur 357 à l'ordinaire, fous le nombre à divifer, en avançant d'un degré, & le 3 du divifeur fe rencontrera fous I de 31.

Puis cherchant combien de fois 3 font contenus dans 31, on voit qu'ils y fout dix fois naturellement, mais qu'ils ne peuvent y entrer que 8 fois, comme il a été examiné ci-devant: il faut donc pofer 8 au quotient*,

32 3x88 · 67784

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*

(18 quotient. Refte 328. enfuite de la figure I déjà pofée; puis multipliant 357 par le quotient 8, felon l'ordre de la Multiplication, on dira, 8 fois 7 font 56, ôtés de 64, compofés de 4 fupérieur, & de 6 dixaines que l'on emprunte dans fon efprit fur le degré fuivant, refte 8, qu'il faut écrire au-deffus de 4, & on retiendra dans la mémoire les 6 dixaines empruntées, pour les rendre & ajouter au produit de la Multiplication fuivante.

Enfuite on dira, 8 fois 5 font 40, & les 6 dixaines retenues font 46, ôtés de 48, compofés de 8 fupérieur, & de 4 dixaines que l'on emprunte fur le degré fuivant, refte 2, qu'il faut écrire fur 8, & retenir les 4 dixaines empruntées.

Enfin on dira, 8 fois 3 font 24, & les 4 dixaines retenues font 28, ôtés de 31 qui font au-dessus,

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