jugé à propos de faire fuivre les queftions fuivantes, appliquées au fujet de la racine quarrée. Premiere Queftion.

On veut former un bataillon en forme rectangulaire, en proportion triple, comme de 1 à 3, par le moyen de 2523 foldats; on demande combien il y aura d'hommes de front, comme auffi de flanc: divifez 2523 par 3, il viendra 841, dont la racine quarrée eft 29 pour le flanc. Et pour avoir le nombre des hommes du front, multipliez 29 par 3; il viendra 87 pour le front.

Pour preuve, multipliez 87 par 29, il viendra 2523, comme il a été propofé.

Seconde Queftion.

On veut mettre 465 hommes en bataillon qui foit en forme équilatérale ou triangulaire; mais on entend que le premier rang foit 1 homme, le deuxieme rang 2, & le troisieme 3; on demande combien il y aura de rangs, & combien il y aura d'hommes au dernier rang.

Doublez 465, & du double tirez la racine quarrée, il viendra 30 pour le dernier rang; c'est-à-dire, qu'il y aura 30 rangs. Pour preuve, ajoutez le premier rang, qui eft I, avec 30, il viendra 31, qu'il faut multiplier par la moitié de 30, qui eft 15, il viendra au produit 465; ainfi des autres.

Troisieme Queftion.

On veut former un bataillon par le moyen de 758 hommes, mais on entend que ce foit en proportion comme de 1 à 3 ; on demande combien il y aura d'hommes de front & de flanc.

Réduifez 3en demi, il viendra 7; & d'autant que nous agiffons par, doublez 758, il viendra 1516 à divifer par 7, le quotient fera 216, & refte 4, dont la racine quarrée eft 14, & restera 20; partant 14 fera le nombre du front. Pour avoir le flanc, multipliez 14 par 3 1⁄2, il viendra 49.

Pour preuve, multipliez 49 par 14, le produit fera 686; puis multipliez 20, reftés de l'extraction par 7, divifeur, le produit fera 140, auxquels ajoutant les 4 reftés de la divifion, le tout fait 144, dont la moitié eft 72, qu'il faut ajouter à 686, & le tout fera 758, comme veut la question.

Quatrieme Question.

Il y a 400 hommes defquels on veut former un bataillon en forme de lofange; on demande combien il y aura d'hommes à chacun des côtés du bataillon.

Pour former un bataillon en forme de lofange ou rhomboïde, il faut former deux bataillons en forme équilatérale, & les joindre enfemble pour former la lofange; mais il faut qu'il y en ait un où il y ait un rang plus qu'à l'autre.

Pour former un bataillon, on a coutume de doubler le nombre; mais pour le dreffer en lofange, il ne faut pas doubler, il faut feulement extraire la racine quarrée du nombre des hommes, comme de 400, Jaquelle fera 20, pour la plus grande moitié de la lofange; elle fera donc équilatérale, & l'autre moitié équilatérale auffi; mais les côtés de ce dernier ne feront que de 19 hommes, lefquels joints enfemble, feront une véritable lofange de 400 hommes.

Et pour trouver le grand triangle, qui a 20 de tous côtés, il faut ajouter, felon la progreflion arithmétique, le premier rang I avec le dernier 20, la forme fera 21, que vous multiplierez par la moitié de 20, qui eft 10; il viendra 210 pour les hommes qui compofent le plus grand triangle.

Ajoutez auffi le premier rang du petit triangle avec le dernier, favoir I avec 19, la fomme fera 20, que vous multipliercz par 9; moitié de 19; le produit fera 190, que vous ajouterez à 210; la fomme fera 400 hommes, qui compofent le bataillon en forme de rhomboïde ou lofange.

DE

L'EXTRACTION

de la Racine Cubique.

E Cube géométrique eft un corps ayant trois dimenfions, favoir, longueur, largeur & profondeur ou hauteur, lequel forme fix fuperficies égales & quarrées, telles qu'elles font repréfentées en la figure d'un dé à jouer, à la reffemblance duquel on appelle du nombre cube, qui eft fait d'un nombre multiplié par foi-même deux fois, comme fi on multiplie 6 pieds par 6, il viendra 36 pieds quarrés, & 6 multipliés encore par 36, font 216 pieds cubes contenus dans la toife cube.

Tout nombre cube a pour côté ou racine le nombre qui commence à multiplier pour le produire, & réciproquement, le produit eft appellé le cube de la racine cubique même.

Quand les racines des nombres cubes font données. il est facile d'en trouver les cubes; mais les cubes étant donnés, il eft difficile d'en trouver les racines; néanmoins l'on en vient à bout, fi on connoît les cubes des racines, qui font, depuis l'unitéjufqu'à dix, exprimées en la Table fuivante, qu'il eft néceffaire d'apprendre par cœur pour opérer plus facilement dans l'extraction de la racine cubique de tout nombre propofé.

TABLE.

Racines 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Quarrés I 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Cubes 1. 8. 27.64.125.216.343.512.729. 1000

Après avoir entendu la Table ci-deflus, fi d'aventure l'on veut extraire la racine cubique d'un nombre qui foit compris juftement en icelle, ou moindre que le plus grand cube fuivant, l'on cherchera le même dans la ligne des cubes, s'il s'y rencontre, & au-deffus d'icelui fe rencontrera fa racine cubique. Si d'aventure le nombre ne fe rencontroie pas précisément, on prendra la racine cubique du plus prochain moindre de la Table; & ôtant le cube pris à la Table du nombre duquel on veut extraire la racine, le refte de la fouftraction fera écrir fur une ligne pour numérateur d'une fraction dont il fera parlé ci-après, page 350.

Exemple.

Si je veux extraire la racine cubique de 437, je cherche dans la Table à la ligne des cubes, & trouve que 437 fe rencontre entre 343 & 512; partant. je prends 343, nombre cube prochain, duquel la racine cubique eft 7, pour la racine du nombre propo. fé, & reste 94.

Mais pour extraire la racine cubique d'un nombre au-deffus de 1000 contenu en la Table, comme de 48627125, après avoir écrit ledit nombre, on féparera les figures de 3 en 3 avec un point, à caufe des 3 dimenfions du cube, commençant premiére3 ment à main droite, & finiffant à la gauche, comme il fe voit dans l'opération fuivante; on décrira auffi au-devant dudit nombre un demi-cercle comme à la divifion, pour pofer les racines que l'on trouvera en faifant l'extraction.

Exemple.

21

On veut extraire la racine cubique de ce nombre 48627125; ayant féparé les figures de 3 en 3, comme il a été enseigné cideffus, il faut prendre la racine cubique de la premiere féparation,qui eft 48, & on

48. 627. 125. (3

trouvera que la racine eft 3, lequel 3 fera écrit au quotient pour racine; ayant écrit 3, il le faut cuber, & fon cube eft 27, qu'il faut fouftraire de 48, & le refte 21 fera écrit fur 48, comme en la divifion.

Pour feconde opération, où il faut trouver un divifeur, il faut prendre le triple du quarré de la racine déjà pofé, qui eft 3, difant : 3 fois 3 font 9, & 3 fois 9 font 27 ( ce que l'on obfervera généralement pour trouver les divifeurs ;) lequel divifeur 27 fera écrit fous 48, mais en avançant d'un degré, puis on dira comme à la divifion, en 21 combien de fois 2, on fait qu'il y eft naturellement 9 & plus ; mais je fuppofe qu'il y puiffe entrer feulement 6 fois, j'écris donc 6 au quotient pour racine; cela fait, je multiplie le divifeur 27 par 6, il vient 162 au produit, que j'écris à l'écart; enfuite je prends le triple du quarré de la racine 6, il vient 108, parce que le quarré de 6 eft 36, & le triple de 36 eft 108 auffi que je multiplie par la premiere racine trouvée, qui eft 3, & le produit ett 324, que j'écris fous 162, mais en avançant d'un degré.

Enfin, je cube la racine 6, & fon cubeeft 216, que j'écris fous 324, en avançant encore d'un degré ; puis ajoutant ces trois produits, mis l'un fous l'autre à l'écart, la fomme eft 19656, qu'il faut fouftraire de 21627, & le refte fera 1971, qu'il faut écrire fur 21627, comme il fe voit par l'opération ci-après. I