tion, qui eft 523, la fomme des produits fera 73964, qui eft le nombre duquel on a tiré la racine quarrée; & s'il ne refte rien, on ajoutera tout fimplement les produits,la fomme Connera le nombre requis: ce que l'on obfervera généralement pour la preuve de laracine quarrée.

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Opération de la preuve.

Autre Preuve de la racine quarrée par 9.

Comme la preuve de la racine quarrée par 9 a été jufqu'à préfent négligée, parce qu'elle n'eft pas de grande utilité, & par cette raison que les Auteurs, qui ont traité de l'Arithmétique, n'ont pas voulu fe donner la peine de l'expliquer, je n'en parlerai que fort légérement & comme par curiofité, afin de témoigner au Lecteur que je n'ai voulu rien omettre de ce que j'ai jugé lui devoir donner quelque fatisfaction..

Je propoferai donc la queftion fuivante, pour mettre en pratique ladite preuve.

On veut extraire la racine quarrée de 67895. B. 260, & refte 295.

8

Ayant trouvé que la racine du nombre ci-deffus eft 260, & qu'il refte 295, je pose une croix, comme on a coutume en faifant cette même preuve de 9 aux Regles d'Addition, Souftraction, &c. puis je tire la preuve de 260, je trouve que c'eft 8, que je pole au haut de ladite croix. Enfuite je quarre 8, font 64, dont la preuve eft 1, que je pofe au bras gauche de la même croix.

Cela fait, je tire la preuve de 295 reftés, il vient 7, que je pofe au bras droit de la croix; puis j'ajoute 7 & 1, qui font aux deux bras de la croix, il vient 8, que je pofe au bas de ladite croix. Enfin je tire la preuve de 67895, il vient auffi 8, égal au dernier 8 trouvé, que je pofe auprès d'icelui, & c'eft la preuve. S'il n'y avoit point eu de refte, au lieu de 7 il faudroit écrire zéro. Le refte fe doit fous-entendre.

Remarque. Comme le nombre ci-deffus propofé n'eft pas quarré, puifqu'il refte 295, fi on le vouloit rendre parfaitement quarré, & par conféquent avoir261 pour racine, fans refte, au lieu de 260, on demande combien il y faudroit ajouter. Il faut doubler la racine 260, plus I, il viendra 521, & de 521 fouftrayant 295, le refte fera 226, qu'il faut ajouter au nombre 67895 ci-deffus propofé, il viendra pour fomme 68121, dont la racine quarrée eft 261.

Mais fi au lieu d'augmenter la racine, on vouloit exprimer en fractions le refte de l'extraction ci-deffus, il faut doubler la racine 260, plus I, comme ci-devant, il viendra 521 pour dénominateur, pofant 295, qui eft le refte, pour numérateur, & la fraction fera 21, comme il fe voit par l'opération que je commence ci-après.

295

5219

5

Tirer la racine quarrée d'entiers & fractions. On veut tirer la racine quarrée de 2280: il faut réduire les 2280 en feiziemes, il viendra 1648; puis tirant la racine quarrée du numérateur 36481, il viendra 191; en tirant auffi la racine quarrée de 16, il viendra 4, & ce feront 12, ou par réduc tion en entiers, 47 4.

6

Tirer la racine quarrée des fractions radicales. On veut tirer la racine quarrée de : il faut tirer la racine de 9, il viendra 3, & la racine de 16 fera 4, qu'il faut écrire en fraction, & ce font pour la racine de.

Extraire la racine des fractions irradicales, comme

de.

Il faut multiplier 5 par 7, il vient 35, & au lieu de 35, il faut prendre le nombre quarré le plus proche, qui eft 36, dont la racine eft 6, que l'on pofera pour numérateur, & 7 pour dénominateur, & ainfi la racine defera, à fort peu près.

97

Pour preuve, multipliez par, il viendra 15 dont la racine quarrée eft, comme ci-deffus. De l'utilité & ufage de la racine quarrée. L'utilité de la racine quarrée fe verra dans la Géométrie ci-après, & fe pratiquera auffi en plufieurs questions, que je propoferai dans mon Queftionnaire en leur lieu.

Pour la guerre, elle fert à former un bataillon par le moyen d'une quantité d'hommes, foit qu'il foit quarré d'hommes, ou quarré de terrein.

Le bataillon quarré d'hommes eft celui qui a toutes les faces égales, c'eft-à-dire, autant d'hommes de front que de flanc.

Et le bataillon quarré de terrein eft celui dont les hommes occupent une place de terre quarrée. Question

Etant donné 898 hommes pour en former un bataillon quarré, favoir combien il y en aura de chaque côté.

Il faut extraire la racine quarrée de 898 hommes, comme il a été enfeigné; il viendra 29 pour racine, & restera 57 hommes, dont on fera un peloton. Mais fi on vouloit que le total y fût employé, c'est-à-dire, qu'il y eût 30 de front & de flanc, favoir combien on devroit y ajouter d'hommes.

Pour faire cette Regle, il faut doubler la racine, & ajouter I, comme il a été enfeigné, & de ce double il viendra 59, dont il faut ôter 57, qui font reftants de l'extraction, & reftera 2, c'est-à-dire, 2 hommes, qu'il faudra ajouter au nombre premiérement propofé à ranger en bataillon quarré, comme il fe voit ci-deffous.

Opération.

59

2 hommes à ajouter.

Etant donné un nombre d'hommes pour faire un bataillon quarré de terrein, pour trouver combien contiendra le front, & combien la file,

Il faut concevoir qu'au bataillon quarré de terrein, les hommes en front occupent 3 pieds de diftance les uns des autres, & 7 en file ou en hauteur ; tellement que fi l'on veut trouver le nombre des hommes de front, il faut faire une Regle de Trois, pofant au premier terme 3, au fecond 7, & au troifieme le nombre des hommes donnés; puis extrayant

la racine quarrée du quatrieme terme, il viendra pour racine les hommes du front.

Si au contraire on veut favoir les hommes de la file, on dira:

Si 7 donnent 3, combien, &c.

Exemple.

On propofe 525 hommes à mettre en bataillon quarré de terrein; on demande combien il y aura d'hommes de front; il faut dire :

Si 3 donnent 7... 525

3

3

7

xx.x8

(35 hommes de front.

1225

Pour avoir ceux de la file, il faut dire :

Si 7 donnent 3.... 525

3

2.28

(Is hommes

pour la file.

225

Pour preuve, il faut multiplier le nombre des hommes du front par ceux de la file, & fi le produit fe trouve égal à 525, nombre propofé, l'opération fera bonne.

35 hommes de front.

15 hommes de la file.

175

35

Produit 525 hommes, & c'est la preuve.

Avertisement.

Après avoir amplement expliqué les principes néceffaires pour tirer la racine quarrée, tant des nombres entiers, que des entiers & fractions conjointement, comme auffi des fractions féparément, j'ai