buitieme que l'on cherche.

*

Mais fi on veut avoir la valeur des 18 termes, il faut doubler le nombre ci-deffus trouvé moins I, à caufe que la progreffion eft en raifon fous-double, il viendra 262143 liv. pour la valeur des 18 toifes propofées.

Second Exemple.

Un crocheteur ayant une charge de 20 cotrets à vendre, il fe préfente un Bourgeois pour les acheter: ils conviennent de prix à telle condition, que du premier cotret le Bourgeois en paieroit I denier, du deuxieme il paie roit 3 deniers, du troifieme 9 deniers, & ainfi de fuite en raifon triple; on demande combien ledit Crocheteur devoit recevoir d'argent pour fa charge de cotrets.

La queftion ci-devant enfeigne comment il faut procéder pour la résolution de celle-ci ; c'eft pourquoi je me contenterai d'en faire l'opération. Nombre des termes I 2 3 4 5 6 7 8 Valeur des termes 1 3 9 27 81 243 729 2187 Il fe trouve 2187 pour la valeur du huitieme terme, qu'il faut multiplier par foi-même; il viendra 4782969 pour le quinzieme terme.

I

Et pour avoir le vingtieme, qui ett le dernier, if faut confidérer que la différence du quinzieme terme au vingtieme, eft égale à celle du premier aufixieme; il n'y a donc qu'à dire par Regle de Trois : Si un premier terme donne 243 pour fixieme terme, que donnent 4782969, qui eft le quinzieme terme.

R. 1162261467 deniers, & c'est la valeur du vingtieme cotret.

Et fi on veut avoir la valeur de tous les vingts cotrets, il faut ôter I, qui eft le premier terme de la valeur du vingtieme; puis prendre la moitié du reste à caufe que la progreffion eft en raison triple; & ajoutant cette moitié au vingtieme terme fufdit, la fomme fera la valeur de tous les cotrets, comme il fe voit par l'opération.

1 16 2 2 6 1 4 6 7 vingtieme terme

5

8 1 1 3 0 7 3 3 moitié.

1 7 4 3 3 9 2 2 0 o deniers, pour la fomme des 10 termes, & la valeur des 20 cotrets.

Pour faire entendre ce qui eft dit ci-deffus touchant l'addition de tous les termes, je dirai qu'en toute progreffion, le premier terme & le dernier étant connus, fi on ôte le moindre nombre du plus grand, & que l'on divife le refte par le nombre exprimant la différence des termes, le quotient donnera la différence de tous les termes, moins le plus grand, lefquels ajoutés enfemble, lafomme qui en provient eft la valeur de tous les termes de la progreffion,comme il fe voit ci-deffus, & auffi par l'exemple ci-après d'une progreffion, qui eft telle.

I 4 16 64 256

1024 * 4096

En cet exemple, la différence du premier terme au deuxieme eft 3; par conféquent ayant le feptieme terme, qui eft 4096, fi on veut trouver la va

leur de tous les fept termes, il faut divifer 4096 moins 1 par 3, il viendra 1365, qu'il faut ajouter aux mêmes 4096, & il viendra 5461 pour la fomme des fept termes propofés; ainfi des autres,

DE L'EXTRACTION

De la Racine quarrée.

A racine quarrée doit être confidérée comme une mefure parfaire ou égale en deux dimenfions; favoir, longeur & largeur.

'D'où il s'enfuit qu'ayant trouvé la fuperficie d'une figure très-irréguliere, qui ait autant de côtés que l'on voudra, i on veut la rendre dans un quarré parfait où toute ladite fuperficie foit comprife, il faut prendre la fuperficie de ladite piece, fuivant les Regles que j'enfeignerai dans mon Traité de l'Arpentage ci-après; puis ayant trouvé que la fuperficie de la piece de terre contient 64 toifes ou perches quarrées, de ce produit j'en tirerai la racine quarrée, qui fera 8; cela fait, je dis que pour faire un quarré égal à cette fufdite piece irréguliere, il faut qu'il ait 8 toiles de chaque côté.

Pour l'intelligence de ce que ci-deffus, il faut favoir que quand on dit quarrer un nombre, c'est le multiplier par foi-même, & réciproquement, que tout nombre multiplié par foi-même, produit un quarré, comme 3 multiplié par 3 font 9, 8 par 8 font 64, & réciproquement ces deux nombres 3 & 8 font appellés racines des quarrés 9 & 64, ainfi des autres. Pour mieux faire entendre cela, j'ai dreffé la Table ci-après des quarrés & de leurs racines, jufqu'à 100.

Racines.

I....2....3......4...5678..... 9..... 10

Quarrés.

I 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Par le moyen de cette Table, on peut facilement extraire la racine quarrée de tous les nombres qui font au-deffous de 100, parce qu'ils font compris dans icelle; comme fi on demande la racine quarrée de 49, on trouvera que c'est 7; car 7 fois 7 font 49, nombre quarré.

Mais fi l'on ne trouve pas quelque nombre exactement dans l'ordre des quarrés, on prendra le prochain moindre; comme fi l'on vouloit extraire la racine quarrée de 69, on prendra 64, qui eft le prochain quarré au-deffous de 69, dont la racine eft 8 pour nombre entier, le refte, qui eft, fera une fraction, dont il fera parlé page 337.

Mais fi le nombre duquel on veut extraire la racine quarrée eft plus que roo, par exemple 73964, il faut opérer en cette forte.

Ayant pofé le nombre dont il eft queftion, & formé un demi-cercle au-devant d'icelui, pour pofer le quotient comme à la divifion, il faut féparer les figures de deux en

3

. 39. 64. (2

deux avec un point, commençant à la premiere figure vers la main droite, & finiffant à gauche, comme en cet exemple, le dernier point tombe fur le 7, qui eft à main gauche: on dira donc pour commencer, la racine quarrée de 7 eft 2, qu'il faut écrire au quotient, & auffi fous le 7, fi l'on veut, puis dire, 2 fois 2 font 4, lefquels ôtés de 7, refte 3, que l'on écrira au-deffus du 7, barrant en même-temps le 7 & le 2 auffi qui eft au-deffous, comme à la divifion.

Enfuite pour trouver un divifeur, il faut doubler la racine 2, qui eft venu au quotient, il viendra 4,

qu'il faut mettre au-deffous de 33, mais en avançant d'une figure comme à la division; puis dire, en 33 combien de fois 4: je trouve qu'il y eft 7 fois, lequel 7 étant écrit au quotient, enfuite de 2 déjà pofé, il le faut auffi écrire pour diviseur fous le 9, puis on dira,7 fois 7 font 49, ôtés de 49, refte zéro, & retiens 4 puis continuant, 7 fois 4 font 28,& 4 que j'ai retenu, font 32, ôtés de 33, reftera I que j'écris au-deffus de 3.

z 10

64 (27

Maintenant pour trouver un fecond divifeur, il faut doubler les deux racines 27: difant deux fois 7 font 14, je pofe 4 fous 6, & retiens I; enfuite je dis, 2 fois 2 font 4, & I que j'ai retenu font 5, que j'écris fous 7, vis-à-vis du zéro ; puis je dis, en 10 combien de fois 5, je trouve qu'il n'y peut être qu'une fois, que j'écris au quotient: ayant pofé I au quotient, on l'écrira auffi pour divifeur fous 4, premiere figure à main droite, & continuant comme à la divifion, on dira, une fois I eft I, ôté de 4 qui font deffus, refte 3, qu'il faut écrire fur 4; puis, une fois 4 eft 4, ôtés de 6, refte 2, qu'il faut écrire deffus 6; puisune fois 5 eft 5,lefquels ôtés de 10, reste pour 5, qu'il faut écrire fur le zéro;

39 64

(271

8

le tout comme il fe voit par les opérations ci-deffus. L'opération étant ainfi achevée, on trouve que la racine en nombres entiers eft 271, & qu'il reste 523, dont il fera parlé ci-après.

Preuve de l'extraction de la racine quarrée.

Pour preuve, il faut multiplier 271 par eux-mêmes, & ajouter à leur produit le reste de l'extrac