Toute Progreffion arithmétique eft appellée naturelle, lorsque l'excès eft femblable au premier nombre, comme dans les trois exemples ci-deffus. Si les excès du premier au fecond, du fecond au troifieme, &c. font égaux, cetre Progreffion s'appellera Progreffion arithmétiqué continue; mais fi l'excès ou la différence du premier au deuxieme est égale à celle du troisieme au quatrieme, & ainfi de deux en deux, fans confidérer les inter-moyens, elle s'appellera Progreffion arithmétique difcontinue, comme il fe voit ci-deffous.

2... 5 ...8... II... 14 ... 17. ... 20 continue.

4 7 7 8 9 ΙΟ 13 14 difcontinue. En toute Progreffion arithinétique, foit continue ou difcontinue, quand les termes font en nombre pair, la fomme des termes eft égale à la fomme des inter-moyens, également diftants des extrêmes comme l'exemple ci-après le démontre.

Pour avoir la fomme de tous les termes d'une Progreffion arithmétique continue, il faut ajouter le premier & le dernier enfemble, & multiplier la fomme par la moitié du nombre des termes; le produit donnera la fomme de tous les nombres.

On voit que la fomme des deux extrêmes eft 22 & la multitude des termes eft 8, dont la moitié est 4; multipliant donc 22 par 4, le produit fera 88 pour la fomme de tous les termes.

On pourroir former fur ce fujet une question telle: Un Marchand a vendu 150 aunes d'étoffe, à condition que de la premiere aune il recevra 1 livre, de la deuxieme 2 liv. & de la troifieme 3 liv. & toujours en augmentant d'une livre, felon la naturelle Progreffion jufqu'à la derniere aune; on demande combien doit recevoir le Marchand.

Pour faire cette Regle, ajoutez le premier terme I avec 150, dernier terme, la fomme fera 151, qu'il faut multiplier par 75, moitié de 150, & le produit donnera 11325 livres pour la valeur defdites 150

aunes.

Preuve.

La preuve fe doit faire par une autre question oppofée, difant :

Un Marchand a vendu un certain nombre d'aunes d'étoffe 11325 liv. il a donné la premiere aune pour I livre, la deuxieme pour 2 livres, & la troifieme pour 3 liv. & toujours en augmentant d'une livre jufqu'à la derniere aune; on demande combien il a vendu d'aunes.

Pour faire cette Regle, il faut doubler le produit ci-devant trouvé, quieft 11325; il viendra 22650, dont la racine quarrée fera 150, & ce font autant d'aunes qu'il a vendues, obfervant qu'il faut que le refte de l'extraction fe trouve égal au quotient comme il fe verra ci-après par l'opération; autrement la Regle feroit fauffe.

Autre Queftion.

Il y a 120 pierres dans un panier, que l'on pro

pofe de placer en ligne droite, de forte qu'elles

foient éloignées l'une de l'autre de 6 pieds, mais à condition que celui qui les doit ranger, les prendra dans ledit panier une à une pour les pofer; puis étant toutes rangées en leur place, il faut qu'il les releve toutes une à une pour les remettre dans ledit panier où il les avoit prifes; on demande combien il fera de chemin.

Pour réfoudre cette queftion, il faut confidérer que les pierres étant pofées de 6 pieds en 6 pieds, pour parvenir jufqu'à la derniere, il fe trouvera 119 fois 12 pieds (à caufe qu'il faut aller & revenir ) qui valent 1428, qui eft le dernier terme d'une Progreffion arithmétique, de laquelle le premier terme eft 2, & la multitude des termes eft 119. Maintenant pour trouver combien il faudra qu'il chemine de pieds, j'ajoute 1428 avec 12; cela fait 1440, dont la moitié 720, étant multipliée par 119, le produit fera 85680, pour le nombre des pieds de l'étendue du chemin qu'il doit faire pour les placer ; &, s'il veut ramafler lefdites pierres, & les remettre dans ledit panier de même ordre, il fera obligé de cheminer encore autant; il n'y a donc qu'à doubler 85680, il viendra 171360 pieds; & c'eft le chemin qu'il doit faire pour les placer & les relever.

Or, pour favoir combien ce feroit de lieues & parties de lieues qu'il feroit, on fait qu'un pas géométrique vaut 5 pieds, tellement que fi on divife les 171360 par 5 pieds, valeur d'un pas, on trouvera 34272 pas. On compte 2000 pas pour une lieue; divifant donc 34272 pas par 2000, on aura 17 lieues à faire, 272 pas davantage, qui valent un demiquart de lieue & 22 pas.

Preuve.

Pour preuve qu'il cheminera 85680 pieds pour pofer lefdites pierres, il en faut tirer le douzieme,

il viendra 7140, qu'il faut doubler felon l'ordre de la preuve de la Progreffion naturelle; il viendra 14280, dont la racine quarrée fera 119, & 119 de refte; & c'est la preuve.

Dans les queftions que je ferai à la fin, il y en aura plufieurs fur ce fujet, ce que ci-deffus n'étant que pour fervir d'inftruction.

De la Progreffion géométrique.

LA Progreffion géométrique eft celle dont le pre

'mier terme eft au deuxieme, comme le troifieme au quatrieme; par exemple, 2 eft à 4 en même raifon que 4 eft à 8; parce que 2 eft contenu 2 fois en 4, & 4 eft auffi contenu 2 fois en 8.

On appelle Progrefiion géométrique continue quand le premier terme eft au deuxieme, comme le troifieme au quatrieme, comme il fe verra ci-après.

Dans la Progreffion géométrique, fi plufieurs nombres font proportionnaux continuement, la multiplication des extrêmes eft égale à la multiplication de ceux d'entre deux qui font également éloignés des mêmes extrêmes.

Par exemple 2 4 8 16 32 64.

La Multiplication de 2 par 64 eft égale à la multiplication de 4 par 32, & à celle de 8 par 16.

Et fi d'aventure les nombres proportionnaux étoient en nombre impair, le quarré de celui du milieu feroit égal à la multiplication du premier & du dernier, c'eft-à-dire, des extrêmes.

Et delà on peut tirer la folution de la question fuivante. Un Seigneur veut faire faire une Tour de 18 toifes de hauteur; il a fait marché avec l'Entrepreneur à telle condition, qu'il paiera 1 livre pour la premiere toife, 2 livres pour la deuxieme toife, 4 livres pour la troifieme, & 8 livres pour la qua

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trieme, ainfi de fuite, en doublant toujours jufqu'à la derniere, felon l'ordre de la Progreffion géométri que; on demande combien couteront les 18 toifes de maçonnerie : il eft néceffaire de trouver la valeur de la dix huitieme toife, d'autant que deux fois fa valeur, moins une livre, eft la valeur de ladite Tour ayant 18 toifes de hauteur.

Il faut confidérer que le premier terme étant I livre, le deuxieme fera 2, le troifieme fera 4, ainfi qu'il fe voit de fuite.

Nombre des termes I....2.3.4.5....6....7....8..
Valeur des termes I 2 4 8 16 32 64 128.

On voit que le huitieme terme eft 128, lequel étant multiplié par foi même, il viendra au produit 16384 pour le quinzieme terme : or, le quinzieme terme étant trouvé, on voit que la différence du quinzieme au dix-huitieme que l'on cherche, eft la même que du premier au quatrieme ci-devant : on dira donc, par une fimple Regle de Trois : Si un premier terme produit 8 pour quatrieme terme , que produira le quinzieme terme, qui eft 16384 ? faifant l'opération comme ci-après, il viendra 131072 pour le dix-huitieme terme que l'on cherche.