drat, lefquels réduits en entiers, en divifant 48 par 15, on trouvera 5, & reftera, ou le tout fera 5 pour les de 8 &.

Tout ce que deffus propofé bien entendu, il fera facile de procéder à l'opération des Règles d'Addition, Souftraction, Multiplication & Divifion fui

vantes.

ADDITION PAR FRACTIONS. Première Règle.

E

Tant donné deux ou plus de fractions à ajou- . ter, trouver leur fomme.

J'ai dit ci-devant que pour ajouter, fouftraire, ou divifer en fractions, il faut que les fractions foient en même dénomination, & fi elles n'y font pas, qu'il les y faut réduire par la méthode enfeigné ci-devant en la cinquième réduction.

Les Fractions étant de même dénomination, il n'y a qu'à ajouter les numérateurs, & écrire le dénominateur commun au-deffous, la fomme qui en viendra fera la fomme totale des fractions propofées.

Par exemple, fi on veut ajouter. J'ajoute tous les numérateurs, 1, 3, 5, 7, la fomme eft 16 que je pofe pour numérateur, & le dénominateur 8. au-deffous, tellement que la fomme totale des fractions fufdites eft ou deux entiers, comme il est enfeigné par la quatrième réduction.

On veut ajouter avec, il faut confidérer que 6 peut être commun dénominateur aux deux fractions propofées; car au lieu de il viendra ‡ &, qui enfemble font ou 1. Mais ordinairement quand il n'y a que deux fractions, on multiplie le numérateur de l'une par le dénominateur de l'autre alternativement, comme en l'exemple ci-dessous des mêmes à ajouter avec, on dira 3 fois 5 font 15,6 fois 2 font 12, & ajoutant 15 avec 12 font 27; puis pour avoir un dénominateur commun, on multiplie les deux dénominateurs 3 & 6 l'un par l'autre, vient 18, qu'il faut écrire fous 27, & le tout fait ou 1

27

Il faut remarquer que par cette matière de multiplier en croix, on réduit & on multiplie tout d'un' coup; mais le plus fouvent on a la peine d'abrévier les fractions, car les nombres fe trouvent beaucoup plus grands, & par conféquent plus difficiles à manier que fi on avoit pris un dénominateur commun le plus petit que l'on auroit pu trouver, comme j'ai mis en la première opération de cet exemple, où j'ai tout d'un coup pris 6 pour commun dénomi

nateur, au lieu qu'en la feconde opération j'ai trouvé pour dénominateur commun.

18

Et s'il fe trouve plus de deux fractions à ajouter, comme, il y auroit trop de peine de multiplier en croix, c'eft pourquoi on cherchera un nombre le plus petit que faire fe pourra, qui puisse être divifé fans refte par tous les dénominateurs defdites fractions à ajouter, qui font 2, 3, 4, 6, S: Or je vois que 24 eft un nombre qui peut être divifé fans refte par tous les fufdits dénominateurs 2, 3, 4, 6, 8.

Numérateurs.

Somme totale des numérateurs 87. * Et fi on veut fçavoir combien ils font d'entiers, divifez 87 par 24, il viendra 3 entiers & pour la fomme des fractions propofée ci-deffus, comme il fe voit. *

Preuve de l'Addition des Fractions.

Cette preuve fe fait en ajoutant fucceffivement tous les numérateurs ci-deffus, excepté un, tel que l'on voudra, & fouftrayant cette dernière fomme trouvée de la dernière fomme totale, il restera le numérateur excepté, autrement les réductions feroient mal faites, & par conféquent la Règle feroit fauffe.

Par exemple, ajoutez tous les numerateurs cideffus, excepté 21 qui font au refte 12, 16, 18, 20, leur fomme eft 66, qui étant fouftraite de 87 somme totale, reftera 21, qui eft le numérateur excepté, c'est-à-dire 24 égaux à 7 dernière fraction. Mais fi les fractions à ajouter font irrégulières, & que l'on ne puiffe commodément trouver un dé

nominateur commun; par exemple, fi on veut ajou ter, on obfervera pour la réduction en même dénomination ce que j'ai dit ci-devant fur ce fujet, en la cinquième réduction, page 67; fçavoir, de multiplier continuement tous les dénominateurs, dont le produit qui eft 2907 fera le dénominateur commun; cela fait, pour avoir le numérateur de chaque fraction, comme de la première qui eft, on divifera le dénominateur commun trouvé par 9, & le quotient fera multiplié par 7, dont le produit fera 2261 pour numérateur de la fraction, & 2907 denominateur commun ; & ainsi la fraction fera égale à, on gardera le même ordre pour trouver les autres numérateurs, puis les ajoutant tous, comme en l'Addition ci-dessus, on écrira la fomme d'iceux, & 2907 dénominateur commun au-deffous; & le numérateur étant plus grand que le dénominateur, on divifera comme il a été enfeigné pour avoir les entiers & les fractions s'il eft néceffaire.

161

Exemple d'Addition en entiers & fractions.

S'il y a entiers & fractions à ajouter, on ajoutera premièrement les fractions, comme il vient d'être enfeigné, & les entiers qui en proviendront, s'il y en a, feront joints aux autres entiers pour les ajouter en une fomme, qui fera la fomme totale des entiers & fractions propofées.

Comme fi on vouloit ajouter 7 avec 91⁄2, on obfervera ce que deffus pour l'opération.

Nombres 7

à ajouter. 9

X 18

20 14

18 38

1 ajouté 24

(1 ou 1

38 24

17 pour la fomme totale de l'Addition cideffus.

Pour preuve, ôtez 9 de 17, restera 7 1.
Remarquez, que fi on veut ajouter des fractions

de fractions avec d'autres fimples fractions, il faudra réduire les fractions de fractions en fimples fractions, puis procéder comme deffus.

Par exemple, on veut ajouter les de de avec 4, on fçait que pour prendre les de de, il faut multiplier continuement les numérateurs de fractions de fractions; fçavoir 2, 1 &5, le produit eft 10, qu'il faut pofer pour numerateur de fractions: il faut auffi multiplier continuement les dénominateurs des mêmes fractions de fractions, qui font 3, 2 & 6, le produit eft 36 pour dénominateur, & ce font ou pour la valeur des fractions des fractions ci-deffus qu'il faut ajouter avec felon l'ordre de l'Addition des fractions ci-dessus, il viendra pour totale 2.

Pour preuve, ôtez de 2, reftera, comme il fe verra dans la Souftraction ci-après.

Avertiffement fur l'Addition des Fractions.

Il y a une autre méthode d'ajouter des fractions qui font régulières, comme font les fractions ou parties de l'aune.

Par exemple, fi on veut ajouter d'aune il faut confidérer que à l'égard de la livre de 20 fols valent 13 fols 4 deniers, on pofera donc 13 fols 4 deniers au-devant de la fraction on voit auffi que valent 15 fols, on pofera donc auffi 15 fols au-devant de la fraction: ainfi de même audevant de on pofera 16 fols 8 deniers, & audevant deon pofera 17 fols 6 deniers, comme il se voit ci-deffous; puis ajoutant toutes les parties de la livre, les livres & parties de livres qui en proviendront feront converties en aunes & parties d'aunes; ce qui fera déduit plus amplement ci-après, lorfque j'expliquerai le bordereau d'aunage, où je ferai la démonftration desparties de l'aune à l'égard de la livre.