8 X 12 Ayant fait l'opération ci-à-còté, on trouve les font convertis en, que & les en; ainsi des autres. Pour preuve que font égaux à, divifez 8 par 2, viendra 4, & 12 par 3 viendra auffi 4. De même pour prouver que font égaux à divifez 9 par 3, viendra 3, divifez auffi 12 par 4, viendra 3, comme ci-dessus. Ce que deffus foit dit pour toujours, lorsqu'il s'agira de prouver qu'une grande fraction est égale à une petite, en laquelle elle eft réduite par diminution, ou au contraire, qu'une petite eft égale à une grande, en laquelle elle eft réduite par augmentation. Voyez la page 62, où je traite amplement de la preuve de la réduction d'une grande fraction à une petite. Mais s'il y a trois fractions ou plus à réduire en même dénomination, comme, 235 alors il faut trouver dans fon efprit un nombre le plus petit que l'on pourra, qui puiffe être divifé juftement fans refte par tous les trois dénominateurs, qui font 3 4 & 6, lequel nombre fervira de dénominateur commun aux trois fufdits dénominateurs. On peut fe figurer plufieurs nombres propres, comme 12 qui est divifible par 3, par 4-& par 6, comme aussi 24, qui eft divifible par les mêmes 3, 4 & 6; ainfi de 36, ainfi de 48, & de plufieurs autres; mais parce que 12 eft le plus petit, & qu'il eft plus facile & plus court d'opérer par de petits nombres que par de grands, il s'en faut fervir pour dénominateur commun&. Maintenant pour avoir le numérateur particulier de chaque fraction , quant au commun dénomina teur, comme fi on veut avoir le numérateur de , il faut divifer 12 par 3, dénominateur des, vien dra 4, qu'il faut multiplier par 2, numérateur des mêmes, & le produit fera 8, c'est-à-dire au lieu de Enfuite divifant encore le même 12 par 4 dénominateur de, viendra 3, qu'il faut multiplier par le numérateur des mêmes, & le produit fera 9, c'eft-à dire au lieu de 4. Enfin divifant 12 par 6 dénominateur de 2, vient 2, qu'il faut multiplier par 5 numérateur des , il vient 10, c'est-à-dire, au lieu des ; partant au lieu que les fractions ci-deffus étoient, elles font maintenant en même dénomination, & fe nom ment ainfi 2 12. 910 La réduction étant ainfi faite, fi on les vouloit ajouter, il eft facile, comme je l'expliquerai ciaprès dans l'addition. Fractions à réduire Opération. Numérateurs. 9 ΙΟ Pour preuve que ci-deffus font égaux à, & ainfi des autres. Voyez la page 62. On obfervera le même ordre que deffus pour trouver un commun dénominateur, quoiqu'il y ait 4, 5, ou plus de fractions à réduire, pourvu que ce foient des fractions régulières, comme 2535 ,&c. auxquelles 24, 48, 72, &c. peuvent fervir de dénominateur commun, parce que ces nombres 24, 48 & 72, font divifibles par 3, par 6, par 4, par 8 & par 12, &c. ainfi des autres. On gardera le même ordre que deffus pour trou ver les numérateurs particuliers de chacune de ces mêmes fractions. Mais fi les fractions à réduire étoient les unes fractions régulières, & les autres irrégulières, & qu'il fût difficile de leur trouver un commun dénominateur, & que même on ne le pût, alors il faut trouver un nombre, s'il fe peut, qui foit divisible par les dénominateurs des fractions régulières, qu'il faut multiplier par chacun des dénominateurs des fractions irrégulières, comme il fe voit par l'exemple ci-deffous de, à réduire en même dénomination. On voit que le nombre 24 peut fe diviser par 3; par 6, par 8 & par 12, dénominateurs des fractions régulières du préfent exemple, qui font ; cela fait, il faut multiplier ce nombre 24 par les trois autres dénominateurs des fractions irrégulières qui font 5, 9, 7, l'une après l'autre, & le dernier produit fera le dénominateur commun de toutes les fractions propofées, comme il fe voit par l'opération ci-après. 25 34 556 par par pár Dénominateur commun 24 à multiplier 5 120 à multiplier 9 1080 à multiplier 7 7560 pour Ayant trouvé le dénominateur commun avoir le numérateur particulier de chaque fraction à l'égard de ce dénominateur; comme fi on veut avoir le numérateur des ci-deffus propofés, il faut divifer 7560 dénominateur commun par 3 dénominateur des, viendra 2520; qu'il faut multiplier 43 1040 par 2 numérateur des mêmes, il viendra 5040 pour numérateur, & l'on aura égaux à la fraction: & continuent de fuite, on trouvera tous les autres numérateurs de même. 2040 Pour preuve que font égaux à, voyez la page ci-devant où j'ai expliqué la même chofe, c'eft pourquoi je n'en parlerai point ici davantage. Mais fi les fractions font toutes irrégulières, comme, &c. alors il faut multiplier tous les dénominateurs de fuite l'un par l'autre, fçavoir 7 par 9 vient 63, & 63 par 11 viant 693, & 693. par 13, le produit eft 9009 pour dénominateur commun. Et pour avoir les numérateurs particuliers de chaque fraction, il faut procéder comme il vient d'être enfeigné ci-devant. Avertiffement fur l'évaluation des Frailions. Vant que de commencer à traiter de l'AddiAton, Soufraction, & autres préceptes des fractions, j'ai eftimé néceffaire après les réductions, d'enseigner comment il faut évaluer une fraction telle qu'elle foit. Toute fraction eft une ou plufieurs parties d'un entier, de laquelle on demande la valeur en telle efpèce que l'on voudra. Pour faire cela, il faut multiplier le numérateur de cette fraction par autant de parties que vaut l'efpèce dont on propofe la valeur; puis divifant le produit par le dénominateur de ladite fraction, le quotient donnera la valeur requife de la fract on, & en telle espèce qu'on la demande. Par exemple, fi on veut fçavoir combien valent les de la livre de 20 fols, je multiplie 3 nu 1 mérateur des par 20, vient 60, c'est-à-dire 60 fols, que je divife par 5 dénominateur de la fraction , & vient au quotient 12, qui font 12 fols pour la valeur de ladite fraction. De même fi on demandoit les d'un écu de 60 fols, il faut multiplier 3 numérateur des par 60, vient 180, qu'il faut divifer par 4 dénominateur defdits, & viendra 45. fols au quotient pour les de 60 fols; ainfi des autres. De plus, fi on veut réduire en fixième, il faut multiplier 2 numérateur des par 6, vient 12, qu'il faut divifer dénominateur de, & viendra 4, par 3 c'eft-à-dire égaux à 3. Mais pour le plus court, quand vous voudrez agrandir une fraction, c'eft-à-dire, au lieu de avoir des fixièmes, il faut multiplier le numérateur & le dénominateur de la fraction par un même nombre, c'est-à-dire par 2: tellement que multipliant 2 des par 2 viendra 4, multipliant auffi 3 dénominateur de mêmes par 2, viendra 6, & ce feront égaux à comme deffus. On peut à l'infini rehauffer des fractions telles qu'elles foient, en multipliant toujours le numérateur & le dénominateur de la fraction propofée par quelque nombre qui produife le dénominateur que l'on cherche, comme fi de on vouloit faire des feizièmes, on voit que multipliant le 3 de par 4, viendra 12; multipliant auffi le 4 des par le même 4, viendra 16, & ce feront égaux à 2; ainsi des autres. Il faut encore remarquer que pour prendre les parties de quelque nombre que ce foit, il faut multiplier les parties par le nombre donneé, foit que le nombre foit compfé de fractions ou non, comme pour prendre les de 8, ayant réduit 8 en 3, on multipliera par, fçavoir 42 par 2, & 5 par 3, comme il fe verra dans la multiplication, vien dra |