Il faut auffi divifer le dénominateur de la grande fraction par le dénominateur de la petite, & viendra le même nombre.

96

144

Comme dans l'exemple de que nous avons réduits à, fi on divife 96 par 2, viendra 48.

Si on divife pareillement 144 par 3, viendra 48 comme deffus, ce qui dénote l'égalité qu'il y a en2; &;; ainfi des autres, & c'eft la preuve.

tre

144

96

Pour faire mieux connoître la raifon de la preuve ci-deffus de la réduction de 2 à, je dirai que le même quotient qui fe trouve en divisant 96 par 2 & 144 par 3, eft la même chofe que fi on vouloit divifer 96 livres à 144 perfonnes, parce que chacune auroit autant pour fa part que fi on vouloit partager 2 livres à trois perfonnes; fçavoir 13 fols 4 den. qui font les deux tiers de 20, & partant on doit s'affurer que la preuve ci-deffus eft générale & infaillible, pour voir s'il y a égalité de valeur entre deux fractions, dont l'une eft connue, & l'autre ne l'eft pas, comme il fe verra dans les Regles d'Addition, Soustraction, Multiplication & Division en fractions ci-après, où il fera fouvent néceffaire de prouver l'égalité des deux fractions.

95

144

La réduction de la fraction ci-deffus fe peut faire d'une autre façon, ainfi que je l'ai dit ci-devant; il faut diviser le dénominateur 144 par le numérateur 96, viendra 1 au quotient, & reftera 48: & fans avoir égard au quotient, il faut diviser le di vileur 96 par le refte qui eft 48, viendra 2 au quotient, & ne refte rien; d'où s'enfuit que 96 & 144 fe peuvent divifer chacun par 48 dernier diviseur: tellement que divifant 96 par 48, il vient 2 : divifant auffi 144 par le même 48, il vient 3; pais po fant les deux quotiens 2 & 3 l'un fur l'autre, vient égaux à 2 comme ci-deffus.

Avertiffement fur la Réduction des Fractions.

Il arrive fouvent que, quoique les nombres qui

expriment la fraction foient très-grands, il eft néanmoins impoffible de réduire la fraction à plus petite dénomination , parce que les nombres, quoique grands, ne peuvent pas être divifés en même-tems par un même diviseur fans refte.

Exemple.

font proposés à réduire à plus petite dénomination, on voit que 48 peuvent fe divifer par 2, par 3, par 4, &c. il n'importe, mais 13 ne peuvent fe divifer par aucun de ces nombres, ni par 2 ni par 3, ni par 4; enfin ils ne peuvent fe divifer par aucun divifeur, fans qu'il y ait du refte; c'est pourquoi il faut que la fraction demeure en mêmes termes qu'elle est exprimée.

48

Autre Exemple.

44eft encore une fraction qui ne peut pas se réduire à plus petite dénomination; car 25 peuvent être divifés par 5, mais 144 ne le peuvent pas être; 144 peuvent être divifés par 4, & 25 ne le peuvent pas être, tellement qu'il faut que la fraction demeure en tels termes qu'elle eft propofée.

Et

Preuve.

pour prouver qu'une fraction comme cideffus propofée ne peut fe réduire à plus petite dénomination.

Divisez le dénominateur 144 par le numérateur 25, il viendra 5 au quotient, & reftera 19 à divifer par 25, c'eft-à-dire

.

Enfuite divifez 25 par 19, il viendra 1 au quotient, & reftera 6, c'est-à-dire -5.

Divifez encore 19 par 6, il viendra 3, & reftera I, qui eft une marque que la fraction ne peut fe réduire à plus petits termes.

La raifon eft que toute fraction de laquelle le numérateur & le dénominateur n'ont point de commune mefure, finon l'unité, eft en plus petits termes qu'elle fe puiffe exprimer.

E

Seconde Réduction.

Tant donné un ou plufieurs entiers, les réduire en telle dénomination que l'on voudra.

Il faut multiplier l'entier ou les entiers par le dénominateur demandé, & mettre le produit fur une ligne pour numérateur, & le dénominateur au-deffous, & la fraction fera la réponse.

6

Exemple.

On veut réduire 3 entiers en une fraction qui ait pour dénominateur; c'eft comme fi on difoit : On demande combien trois aunes contiennent de fixièmes?

Pour faire cette réduction, multipliez les 3 aunes par 6, il viendra 18, qu'il faut écrire fur une ligne pour numérateur de la fraction, & le 6 au-deffous pour dénominateur, & l'on aura 1 égaux à 3 entiers " ou 3 aunes.

par

Pour divifez le numérateur 18 preuve le dénominateur 6, il viendra 3 au quotient, c'est-àdire`3 entiers, ou 3 aunes, &c.

E

Troisième Réduction.

Tant donné entiers & fraction réduire tout en une même fraction.

Il faut multiplier les entiers par le dénominateur de la fraction, & ajouter au produit le numérateur de la même fraction, la fomme fera le numérateur

de la fraction totale, & le dénominateur fera le dénominateur de la fraction propofée.

Exemple.

On veut réduire 5 en même fraction, c'est-àdire en tiers, puifque le dénominateur de la fraction eft 3; pour faire cela, je multiplie 5 par 3, vient 15, auxquels ajoutant 2 numérateur des vient 17, qu'il faut écrire pour numérateur de la fraction demandée; & mettre pour le dénominateur le 3 de la fraction propofée, & on aura 47 égaux à 5.

Pour preuve,

divisez le numérateur 17 par le dénominateur 3, il viendra 5 au quotient, c'eft-à-dire entiers, & reftera 2 à divifer par 3, c'est-à-dire , & le tout fera 5 comme il eft requis.

Quatrième Réduction.

Tant donné un nombre rompu plus grand que

El'unité, le réduire en entiers & fractions s'il y

échet.

Il faut divifer le numérateur de la fraction' par fon dénominateur, & le quotient donnera des entiers; s'il refte quelque chofe, ce fera le numérateur d'une fraction qui aura même dénomination que le dénominateur premier.

Exemple.

La fraction eft propofée; on demande combien ce font d'entiers: il faut divifer 55 par 12, il viendra 4 au quotient, qui font 4 entiers, & refte 7, lefquels étant écrits fur le dénominateur 12, font Z; tellement que la fraction vaut 4 entiers &-2.

Pour preuve, multipliez les 4 entiers par 12 dénominateur des il viendra 48, auxquels vous ajouterez 7, & ce feront comme il eft requis.

E

Cinquième Réduction.

Tant donné deux ou plus de fractions, les réduire en même dénomination.

Cette opération de réduction est une des principales pour le maniement des nombres rompus ou fractions; car deux ou plus de fractions ne fe peuvent ajoûter, fouftraire ni diviser, fi elles ne font de même dénomination.

Quand il n'y a que deux fractions à réduire en même dénomination, comme &, fi l'on veut avoir le numérateur particulier de chaque fraction, eu égard au dénominateur commun, il faut multiplier en croix le numérateur de l'une par le dénominateur de l'autre réciproquement, & pofer les deux produits au-dessus des deux fractions; puis pour avoir le dénominateur commun, il faut multiplier les deux dénominateurs l'un par l'autre, & le produit fera le dénominateur commun.

Par exemple, fi on veut réduire & en même dénomination, on les pofera, comme il fe voit ciderrière en croix; cela fait, on multipliera 2 numérateurs de par 4 dénominateur des 4, le produit eft 8 que l'on pofera au-deffus des.

Enfuite on multipliera le 3 numérateur des par 3 dénominateur des, il viendra 9 que l'on pofera au deffus des, puis multipliant les deux dénominateurs 3 & 4 entr'eux, le produit est 12, qu'il faut écrire au-deffous des deux fractions pour dénominateur commun, comme il se voit par l'opération.