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* qui divife

* Ou des onces 15 viennent auffi t
de poids.

Des points, par 12 viennnent lignes.
Des lignes par 12 viennent pouces.
Des pouces par 12 viennent pieds.
Des pieds par
6 viennent toifes, &c.

L'ufage de cette Table eft expliqué enfuite de la Divifion par livres, fols & deniers.

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TRAITÉ

DES FRACTION S.

PRÉS avoir amplement expliqué l'Addition,

A Souftraction, Multiplication & Divifion en

nombres entiers, il eft néceffaire à présent de donner l'intelligence des quatre mêmes opérations en nombres rompus ou en Fractions, d'autant que par le moyen d'icelles on peut réfoudre les plus difficiles questions d'Arithmétique, excepté celles où il faut fe fervir du grand Art, qui eft l'Algèbre : C'est pourquoi je me fuis réfolu d'en donner un ample Traité, dans lequel je tâcherai de découvrir aux curieux tous les moyens de les comprendre.

Pour donc commencer, je dirai pour définition que ce que l'on appelle Fraction, n'eft autre chose qu'une ou plufieurs parties de quelque entier ; comme 5 fols qui eft le quart de 20 fols, 15 fols quarts &c.

les trois

Les Fractions font de deux fortes: Arithmétiques & Vulgaires.

Les Fractions Arithmétiques font celles qui font

exprimées par les parties de l'unité, & qu'on peut appliquer à nombrer quelque chofe que ce foit: comme les parties d'un fol, d'une livre, d'une aune,

&c.

Les Fractions vulgaires font les parties de quelque entier qui eft dans l'ufage, comme 4 fols, qui font le cinquième de 20 fols, ou 2 pieds, qui eft le tiers de la toise, ainfi des autres.

La Fraction Arithmétique, qui eft celle de laquelle j'entens parler dans ce Traité, vient ensuite d'une Divifion, ou bien elle eft propofée felon qu'il eft befoin dans quelque opération, & s'écrit par deux nombres que l'on écrit l'un fous l'autre, & une ligne entre deux, comme qui fignifient trois quarts, defquels celui de deffus eft appellé Numérateur, qui dénote les parties de l'entier, & celui qui eft deffous eft appellé Dénominateur, qui moatre en combien de parties l'entier eft divifé, comme il fe voit par la démonftration qui fuit..

3

Numérateur.

4 Dénominateur.

}

ou 3 entiers à divifer par 4.

De même qui fignifient trois feptièmes parties, telles que le tout eft divifé en 7, comme 3 livres, 3 écus, 3 piftoles à divifer par 7.

Les Fractions fe peuvent rencontrer en trois diverfes façons, ou lorfque le Numérateur eft plus grand que le Dénominateur, ou lorfqu'il est égal, ou plus petit.

Si le Numérateur eft plus grand que le Dénomi nateur, la Fraction vaut plus que l'entier, comme qui font plus que l'entier d'un quart.

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S'il eft égal, la fraction vaut jufte l'entier, comme 4.

Enfin fi le Numérateur eft plus petit que le Dé-nominateur, la Fraction vaut moins que l'entier comme; ainfi des autres.

Il faut remarquer que le Dénominateur en fraction

représente toujours l'entier, tellement que quand la fraction fera grande, comme pour fçavoir combien ce font d'entiers, il faut divifer le Numérateur 77 par le Dénominateur 8, & il viendra 9 au quotient, c'eft-à-dire 9 entiers: & reftera 5 à divifer par 8, c'eft-à-dire, & le tout fera 9 entiers & parties de telle chofe que l'on voudra divifer, foit d'écus, de livres, de toifes, de perches, &c. Mais en matières de fractions, & de tant que l'on en voudra, il n'y a que le dernier Dénominateur qui vaille un entier; comme fi on demande quels font les de de d'un écu de 60 fols, on multipliera les Nurnérateurs 2, 3 & 5 entr'eux l'un par l'autre, fçavoir 2 par 3 vient 6, & 6 par 5 vient 30 que l'on pofera pour Numérateur, enfuite l'on multipliera les Dénominateurs 3, 4 & 6 continuement, fçavoir 3 par 4 viendra 12, & 12 par 6 viendra 72, , que l'on pofera pour Dénominateur au-deffous de 30, & la fraction fera parties d'un écu: Quant à l'évaluation des fractions, j'en parlerai ci-après.

Ayant dit ces chofes de la Fraction arithmétique il convient de paffer à l'explication des quatre Regles, d'Addition, de Souftraction, Multiplication & Divifion ayant préalablement fait voir quelques réductions, qui fervent auxdites Regles, lefquelles réductions font fpécifiées ci deffous.

1. Réduire une grande fraction à une moindre. 2. Réduire des entiers en une fracton de telle dénomination que l'on voudra.

3. Etant donné entiers & fraction, réduire tout en une même fraction..

4. Etant donné une fraction de laquelle le Numérateur foit plus grand que le Dénominateur,

la réduire en entiers & fraction s'il y échet. 5. Etant donné deux ou plus de fractions, les réduire en même dénomination.

E

Première Réduction.

Tant donné une grande fraction, la réduire en une moindre dénomination.

Réduire à moindre dénomination, c'est trouver de plus petits nombres que ceux par lefquels la fraction propofée eft exprimée, & qui faffent la même valeur, puifque les nombres qui font en même raison font les fractions égales, & qu'il eft plus facile d'opérer par une petite fraction que par une grande: Par exemple, font égaux à auxquels il font réduits, comme vous le verrez ci-après pour la Règle.

Pour opérer en cette réduction, l'une eft tâtonneuse à ceux qui ne connoiffent pas la puiffance des nombres, mais prompte à ceux qui la connoiffent: l'autre eft par une doctrine certaine & infaillible, je les expliquerai toutes deux.

Exemple.

Soit propofée la fraction;? à réduire à plus petite dénomination.

Il faut trouver un nombre par lequel on puiffe diviser le Numérateur 9, & le Dénominateur 12 en même-tems fans refte.

Pour faire cette réduction, je trouve que 3 peut fervir de divifeur à 9 & à 12; car prenant le tiers de 9, vient 3; prenant auffi le tiers de 12, vient 4, que je pofe l'un fous l'autre en fraction, & ce sont égaux à, ainfi des autres.

Mais fi les nombres de la fraction propofée font f grands, que l'on ne les puiffe pas réduire tout d'un coup à la plus petite dénomination requife, comme dans l'exemple ci-deffous; alors on fe fervira de plufieurs divifions continuées, comme dans l'exemple fuivant.

Exemple.

La fraction, eft propofée à réduire à plus petite dénomination, je regarde par quel nombre je pourrai divifer le numérateur & le dénominateur en même-tems, exactement, fans refte, comme par 2,3,4,6, &c. enfin par quelque nombre que je le puiffe faire, pourvu qu'il ne refte rien.

La première divifion étant faite de deux quotiens, j'en forme une autre fraction; puis je confidère fi le numérateur & le dénominateur de cette feconde fraction peuvent être encore divifés par un même nombre fans refte: Cette feconde divifion faite des quotiens, j'en forme encore une autre fraction, & ainfi de fuite, jufqu'à ce que j'aie trouvé une fraction de laquelle le numérateur & le dénominateur ne puiffent plus être divifés par un même nombre; car alors ce fera la plus petite dénomination requife.

144

Conftruction de la réduction de 2 à plus petits nombres.

Pour la faire, je divife 96 par 4, il vient 24; je divife auffi 144 par 4, il vient 36, c'est-à-dire Je divife encore 24 par 4, il vient 6, & 36 auifi par 4, il vient 9, & ce font

Enfin je divife 6 par 3, il vient 2, & 9 auffi par 3, il vient 3, c'est-à-dire pour les plus petits nombres faisant une fraction égale à -24 comme il fe voit

ci-deffous par l'opération.

96.246 2

1449

144 36 93 égaux à 26

44

Preuve de la Réduction d'une grande fraction à une plus petite qui lui foit égale.

Pour preuve qu'une grande fraction. eft égale à une petite, en laquelle elle eft réduite, ou qu'une petite eft égale à une grande.

Il faut toujours divifer le numérateur de la grande fraction par le numérateur de la petite, viendra un nombre.

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