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Pour ceux qui font tant foit peu verfés dans icelle, & qui la fçavent, s'ils divifent quelque nombre par une feule figure, comme par 2, ils n'ont qu'à tirer la moitié de ce nombre, & cette moitié fera le quotient, s'ils divifent par 3 ils tireront le tiers, par 4 le quart, &c.

Avant que de continuer l'explication de la Divifion, il eft néceffaire de faire quelques obfervations fur icelle.

1. D'avancer le divifeur lorfque la première figure du nombre à divifer fera moindre que la première figure du divifeur.

2. D'avancer le divifeur d'un dégré autant de fois que chaque opération fera achevée, foit qu'il foit compofé de 2, 3, ou plus de figures, & opérer felon l'explication ci-devant.

3. Que le quotient de chaque opération ne peut être 10 ni plus, mais feulement 9 & au-deffous; parče que de tous les élémens des nombres, plus grand.

, 9 eft le 4. Il faut que le refte d'une Divifion, s'il y en a, foit toujours moindre que le diviseur, autrement la Divifion eft mal faite, & c'est une marque que n'a pas affez pofé au quotient; c'eft pourquoi il faut recommencer la Divifion.

l'on

Autre Exemple de Divifion, dont le divifeur eft

compofé de deux figures.

Quand le divifeur eft de deux figures, comme fi on vouloit divifer 13824 livres à 32 perfonnes, il faut pofer le divifeur 32 au-deffous de 13824 nombre à divifer, en avançant d'un dégré le divifeur 32, comme il se voit par l'opération.

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Les nombres étant ainfi difpofés, il faut demander combien de fois le divifeur 32 eft contenu dans le nombre fupérieur 13824; mais parce que la mémoire feroit trop furchar

gée, il faut feulement demander combien de fois le premier caractère du divifeur qui eft 3, eft contenu dans 13, & voyant qu'il y eft 4 fois, il faut pofer 4 au quotient, puis multiplier le quotient 4 par le diviseur 32, difant : 4 fois 3 font 12, qu'il faut ôter de 13, refte 1, que l'on écrira fur le 3 de 13: enfuite 4 fois 2 font 8, qu'il faut ôter de 8 & refte o, que l'on pofera au-dessus du 8, observant de barrer ou trancher les figures, tant du divifeur que du nombre à divifer, à mesure qu'elles font acquittées.

Pour feconde opération, il faut avancer le divifeur 32 d'un degré, fçavoir 3 fous 8, & 2 fous la figure d'après, comme ci-deffous.

106 13824

322

3

(43

Le divifeur étant ainfi avancé, on cherchera combien il y a de fcis 3 dans 10, on voit qu'il 3 y eft 3 fois, c'eft pourquoi il faut pofer 3 au quotient enfuite du 4 déja pofé, puis multiplier le même divifeur 32 par ce quo tient qui eft 3 comme auparavant, difant : 3 font 9, ôtez de 10 refte 1, qui vaudra 10, étant joint au 2 fuivant, & ce feront 12, puis dire , 3 fois 2 font 6, qui de 12 ôte 6 reste 6.

fois

3

Enfin il faut avancer le divifeur 32, fous le nombre 64 reftant, fçavoir le 3 fous le 6, & le 2 fous 4, & achever l'opération comme ci-deffous.

le

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106

13824

(432

Le divifeur étant ainfi pofé, comme il fe voit ci à-côté, on parachevera la Divifion, difant comme ci-deffus: En 6 combien de fois 3, il y eft 2 fois, on pofera 2 au quotient, puis on dira: 2 fois 3 font 6, ôtez de 6 il ne refte rien, puis 2 fois 2 font 4, ôtez ce 4 refte rien, & ainfi le quotient eft 432; on obfervera le même dans les autres Divifions.

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33

Autre Exemple de Divifion, dont le Divifeur eft compofé de tris figures.

Et s'il y avoit davantage de figures au divifeur, il faudroit obferver le même ordre; par exemple, s'il étoit question de divifer 6754 à 357 perfonnes pour fçavoir combien il appartient à chacun.

Ayant difpofé la fomme à diviser ci-dessus, & pofé le divifeur au-deffous, comme il fe voit ciaprès, on dira: en 675 combien de fois 357, ou plutôt, en 6 combien de fois 3; on fçait qu'il y eft 2 fois naturellement; mais auparavant que d'écrire le 2 au quotient, il faut raifonner en foi-même, difant: fi je multiplie ce 2 par le 3 du divifeur, il viendra 6 & ne reftera ren; de plus, fi je multiplie le 5 du divifeur par le même 2 pofé au quotient, il viendra 10, & il n'y a que 7 de refte au-deffus; par conféquent c'est trop de pofer 2, on écrira donc I au quotient, comme il fe voit par l'opération, puis multipliant le quotient par le divifeur, on dira: une fois 3 eft 3, ôtez de, refte 3 que l'on pofera fur le 6; puis, une fois 5 eft 5, ôtez de 7 refte 2 que l'on écrira audeffus de 7; pareillement une fois 7 est 7 ôtez de 5 qui eft au-deffuse 7, cela ne fe peut, on empruntera une dixaine fur le 2 de la colomne prochai- ne à main gauche, laquelle dixaine jointe avec le 5 ce feront 15, puis on dira: qui de 15 ôte 7 reste 8, que l'on écrira fur le 5, & parce que l'on a emprunté 1 de 2 ce même 2 eft réduit à 1, que l'on écrira au-deffus de 2.

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I

328

6784

(I

387

Enfuite on avancera le divifeur d'une figure à l'égard du divifeur premierement pofé, puis on dira: en 3184 combien de fois 357; mais d'autant qu'il eft trop difficile de le dire par jugement à caufe du grand nombre, pour aider la mémoire & faciliter la

connoiffance du quotient, on dira: en 31 combien de fois 3, on voit que naturellement il y eft 10 fois ; mais comme on ne peut mettre au quotient que 9, fuppofant donc 9 dans fon efprit, ou le pofant à l'écart, fans l'écrire au quotient, jufqu'à ce que l'on aitexaminé s'il y peut entrer; on multipliera la première figure du diviseur qui eft 3, par ce 9 fuppofé, il viendra 27 au produit, qui ôtez de 31 refte 4 à écrire fur 1 de 31, on continuera de multiplier la feconde figure du divifeur 5 par le quotient 9, difant: 9 fois 5 font 45, qui ôtés de 48, refte à écrire fur 8. Enfin on dira, 9 fois font 63, qui 7 ne peuvent être ôtés de 34 qui reftent, & partant on voit que c'eft trop de mettre 9, parce que 9 fois, 357 divifeur, font plus qu 3184 reftant à divifer; on pofera donc moins, c'est-à-dire 8, & encore faut-il voir s'il y entrera par l'ordre ci-deffus expliqué, & opérant*

Seconde & derniere opération.

2

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·3

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*Ainfi qu'il vient d'être enfeigné, il viendra 18 pour véritable quotient de la Divifion, & reftera 328 de telle chofe que l'on aura divifée, qu'il faudra écrire fur une ligne, & le divifeur 357 au-def fous, & ce refte eft appellé Fraction, de laquelle il fera parlé ci-après dans le Traité des Fractions, Du bien lorfque je traiterai de la Divifion par livres,

fols & deniers, où je rapporterai ce même exemple.

Preuve de la Divifion.

La Divifion auffi bien que les trois autres Règles précédentes, fe prouvent en deux façons ; fçavoir, par la preuve de 9, & par la Multiplication qui eft fon contraire & la plus affurée.

Et premièrement de la preuve par 9.

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La preuve de la Division se fait ainfi. Après avoir fait une croix on commencera à compter par le divifeur comme dans la Règle ci-deffus, où le divifeur eft 357, & dire 3 & 5 font 8, & 7 font 15; defquels rejettant 9, le refte eft 6 que l'on écrit au haut de la croix, de-là on paffe au quotient qui est 18, difant: 1 & 8 font 9, dont la preuve eft zero, qui fera pofé au bas de la même croix, puis il faut multiplier les deux preuves l'une par l'autre, difant: 6 fois zero c'eft zero: Il faut remarquer que s'il n'y avoit rien de refte à la Divifion, il faudroit écrire zero au bras gauche de ladite croix: Mais à caufe qu'il y a 328 de refte à la Divifion, il en faut tirer la preuve, & le furplus de 9 fe trouve 4, que l'on doit écrire audit bras gauche de la croix au lieu du zero, obfervant toujours de rechercher le reste de la Division, s'il y en a, pour en tirer la preuve. Enfin il faut tirer la preuve de 6754 nombre à diviser, & le furplus de 9 eft 4, qu'il faut écrire à l'autre bras de la croix; & comme les deux reftes du bras gauche & du bras droit de la croix fe trouvent égaux, la Divifion eft eftimée bien faite, comme il fe voit par l'opération ci-deffus. On fera de même pour la preuve par 9 des autres Divifions en nombres entiers.

De la preuve de la Divifion par la Multiplication.

Pour faire la preuve de la Division ci-deffus, & généralement de toutes les Divifions, il faut multiplier le quotient d'icelle par le divifeur, ou le divifeur par le quotient indifféremment, & ajoutant le

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