par chaque partie de la grandeur qui eft la multipliante.

Soit donné b+ pour être multiplié par x ; il faut multiplier b & d, qui font les parties de la grandeur donnée, par x, ce qui produit xbxd.

Soit donnée b+d pour être multipliés par x, il faut faire quatre multiplications partiales, qui feront xbxdzb+zd. On peut comprendre dans trois Règles tous les différens cas de cette opé

ration.

PREMIÈRE RÈGLE.

Lorfque les deux grandeurs données ont le figne +, leur produit doit avoir le même figne : ainsi multipliant bd par x+, le produit eft, comme nous avons vû, xbxd+zb+zd.

SECONDE RÈGLE.

Plus par moins, ou moins par plus donne un produit qui doit avoir le figne

C'eft-à-dire, que fi l'une des deux grandeurs a le figne, par exemple, fi l'on avoit donné b-c pour être multiplié para, le produit de leur multiplication doit être ab--ac, dont la raison eft évidente. Quand on multiplie b-c par a, on ne veut multiplier qu'une partie de b. Ainfi ayant multiplié tout b par a, comme on a trop fait, ayant auffi multiplié

qui doit être retranché de b; pour y remédier, on ôte autant de foise qu'on l'avoit trop pris de fois. Le produit ab étant plus grand que celui qui eft le véritable de toute la grandeur ac: on en retranche donc cette grandeur, en la joignant avec ab par le figne de la fouftration qui est- en cette manière ab-ac. Soit donné b+d pour être multiplié par x-x, le produit fera xbxd-zb-zd. Quand on multiplie b-d par x-x, on ne multiplie pas cette gran

deur par toute la grandeur x, il s'en faut la partie z ainfi ayant multiplié la grandeur b+d par toute la grandeur x, le produit xbxd eft plus grand que le véritable produit qu'on cherche, de la grandeur b multipliée par , & de d multiplié par, c'est-àdire de b+d: ainfi il faut retrancher ce produit b+d, de la manière qu'il a été enseigné dans la fouftraction, écrivant xb-+xd-zb-zd.

TROISIÈME REGLE

Moins par moins donne plus.

C'est-à-dire, que fi les deux grandeurs qu'on multiplie ont le figne-, le produit de la multiplication de l'une par l'autre aura le figne +. Par exemple b-d étant multiplié par x-, le produit fera xb-xd-zb+zd: Et afin qu'on comprenne cela, voici comment fe fait l'opération. Je multiplie d'abord b-d par x, & premièrement b, ce qui me donne xb pour première multiplication partiale. Et comme je ne voulois pas multiplier toute la grandeur bpar la grandeur x, qu'il s'en falloit la grandeur d; le produit xb eft trop grand, fçavoir de xd. Je retranche donc xd de xb par le figne de la fouftraction en cette forte xbxd; & ainsi j'ai déja le produit des deux grandeurs à multiplier, par une des grandeurs du multipliant, fçavoir, de b-d par x. Refte encore à connoître le produit de b-d Mais fi vous avez bien pris garde, en multipliant b-d par x, vous l'avez auffi multiplié par, ce qu'il ne falloit pas faire; car vous n'aviez pas à multiplier b―d par toute la grandeur x, il s'en falloit la grandeur : partant le produit de b-d par x eft trop grand, fçavoir, du produit de b-d par z qui eft zb—zd; c'est pourquoi auffi je le retranche de xb-xd, en changeant les fignes, fuivant qu'il a été enseigné dans la

par z.

fouftraction. Ce qui me donne pour total & véritable produit xb-xd-zb-zd.

Ainfi pour comprendre la raison de cette Règle de multiplication, moins en moins donne plus, il n'y a qu'à fe former une jufte idée de la multiplication, & Je fouvenir de ce qui a été dit dans la fouftraction s n. 32. fans y chercher d'autre mystère; car avec ce figne plus, on ajoute feulement ce qu'on avoit ôté de trop.

Voici une autre preuve que + par- donne

&

que - par donne. On la peut passer dans la première lecture de cet Ouvrage; elle s'entendra plus facilement, quand on fera exercé à ce calcul.

Soit à multiplier a-b parc, je dis que le pro duit fera ac-bc; car feit a-b=d: donc a=d+b. Ce qui étant multiplié par+c donne ac dc+bc: Donc ac-bc-dc, & ac-bc eft le produit de a-b parc: ce qu'il falloit démontrer.

Soit encore a-b à multiplier par· —c. Il faut prouver que le produit eft-ac+bc. L'on fait comme devant, a-b-d, ou a=d+b; puifque par la démonftration précédente + par -donne-, en multipliant adb parc, on aura—ac——dc—bc, ou-ac+bc-dc. Ainfi a-b multiplié par-c donne le produit-ac+bc; ce qu'il falloit démontrer.

PREMIER EXEMPLE POUR LA MULTIPLICATION.

4a+126+8f

par 54 36+4f

20aa+60a3 +40af—36bb—24bf+32ff

-12ab16af

+8bf

29aa+48ab56af—36bb+24bf+32ff.

AUTRE EXEMPLE.

8m-47-20x

par 4m-2n-40x

32mm—16mn—80mx-+8nn+40nx+800xx

—16mn—320mx

+160nx

32mm-32mn—400mx+-8nn+200nx+800xx

Comment on peut rendre les expreffions de ces
multiplications plus nettes.

Lorfque les grandeurs qu'on multiplie les unes par les autres, ont les mêmes lettres, on peut abréger l'expreffion de leur produit. Le produit de a+b par a--b, eft felon la Règle aa+ab—ab—bb: or puifque+ab-ab ne fait rien; donc aa-bb eft égal à aaab-ab-bb. Le produit de a-b par a-b est aa-a -ab-ab-bb; puifque -ab-ab est la même chofe que-2ab; je mets donc aa-2ab+bb pour aa-ab-abbb.

Le produit de 3d+e par 3de eft 9dd-6de +ee. Celui de 3d+e par 3d-e, eft 9dd-ee. Celui ci de 3d-e par 3d-e, eft 9dd-6de-ee. Lorfque les grandeurs font fort compofées, & que leurs produits feroient trop étendus, pour marquer feulement qu'il faut multiplier ces grandeurs compofées l'une par l'autre, on les joint, mettant entre-deux cette petite croix de faint André X, comme on l'a dit; & les couvrant chacune d'une ligne, ainfi 4a+3aa2a+1 X` aa—5a+5.

DE LA DIVISION.

A Divifion, comme nous avons déja remarqué,

Ldéfait ce que la multiplication avoit compofé

ainfi pour divifer, il faut fe reffouvenir des Règles précédentes de la multiplication.

Nous avons vu que la divifion & la multiplication fe fervent de preuves. On ne fe peut pas tromper dans la divifion, pourvu qu'on obferve fi le quotient, en multipliant le divifeur, fait un produit égal à la grandeur qu'on a divifée: car, comme on l'a vu, s n. 21. fi cela arrive, ce quotient eft le véritable: ainfix multiplié par bd, faifant le produit xb+xd+zb+d, il eft certain que b-d eft le quotient de xbxd+z+zd divifé par x-+. Il ne faut donc que fuivre les trois Règles que nous venons de donner pour la multiplication.

1o. Puifque plus en plus donne plus, fi la grandeur qui doit être divifée a le figne +, & que le divifeur ait le figne, c'est une marque que le quotient doit avoir+; ainfi la grandeur xb-+-xd +b+d étant donnée pour être divifée par x++, il est manifefte que le quotient est b+d. 2o. Si la Grandeur à divifer a le figne -; & que le divifeur ait le figne+, le quotient aura le figne -; & fi le divifeur a le figne, le quotient aura le figne. Ainfi divifant xbxd-qb-id, par x-, le quotient fera b-d; car hd multipliant x-x, fait la grandeur donnée xbxd-qb-d.

3°. Si la grandeur donnée à diviser a le figne +, & le divifeur le figne, le quotient aura ce mén e figne. Divifant xb-xd-b-d par x-, le quotient fera b-d.

Lorsque l'expreffion d'une opération a été abrégée, pour en appercevoir le quotient, ou quels font les termes fupprimés dans les produits à divifer, & les rétablir; voici ce que l'on fait.