la même grandeur, on met un chiffre qui marque combien de fois on fuppofe que cette grandeur eft ajoutée à elle-même, comme on a fait ci-deffus : ain ayant à ajouter cd avec c+d, au lieu de cd+c+d, on fait cette addition en cctte forte > 2c--2d. Si les Grandeurs données font c―d & c— - d, on fait l'addition de la même manière 2c-2d.

Lorfque les Grandeurs qu'on doit ajouter font les mêmes, & qu'elles ont des fignes contraires, il faut retrancher les lettres qui fe trouvent d'une part avec le figne+, & de l'autre part avec le figne, comme s'il falloit ajouter 36+2d, à 2b-2d; puifque dans la première grandeur il fe trouve 2d, & dans l'autre. -2d, je retranche 2d, qui fe trouve d'une part avee-, & de l'autre avec -; ainfi la forme de cette addition eft 56. La raifon pourquoi on fupprime entièrement 2d eft manifefte: car le figne-détruit ce que fait le figne -, ainfi il ne refte rien. Plus 2d & moins 2d, ne font rien. En ôtant tout ce qu'on avoit mis, il ne refte rien.

Nous en avons fait un Axiôme qu'il faut avoir prefent à l'efprit, pour abréger ces opérations, en rendre les expreffions plus nettes, & pour juger des opérations que d'autres ont fait. Car il arrive fouvent qu'on ne conçoit pas la vérité d'une opération; parce qu'on n'y voit point de certaines let tres qu'on juge y devoir paroître lorfqu'on n'apperçoit pas que le trouvant avec des fignes contraires, on a dû les fuppimer.

Par exemple, ajoutant 4f-+-6g à 3—4g, l'addition fera 7f2g; car+6g est égal à + 4g + 2g :. or, felon ce qu'on vient de dire, pour ajouter +48

28 avec-48; il faut entièrement fupprimer 4g : ainfi il ne refte rien que-+2g.

A

ajouter.

EXEMPLES D'ADDITION.

Somme

A

ajouter. Somme

a+36 52a- b 2 aa -5a+6 a+2b 2 za-3b Saa a -6 2a+56 | 5a-4b 5a-4b | 2aa-4a.

2

ds aa-za-35 2a2+ b2+3 a+4d aa a—62 a2+ b2 2a+3d2aa3a—9 | 3a'+26+

DE LA SOUSTRACTION.

L faut ici, comme dans la Souftraction des Grandeurs incomplexes, fe fervir du figne de la Souftraction, joignant par le figne-la grandeur qu'on veut fouftraire avec celle de laquelle on la veut fouftraire. Pour ôter bd de cf, il faut premièrement écrire c+f-b & parce que ce n'eft pas feulement b qu'il faut retrancher, mais encored, on doit marquer ces deux fonftractions par deux fignes de fouftraction en cette manière c+f-b-d.

On l'a déja remarqué, & il eft aifé de voir que par la fouftraction on change les grandeurs qu'on retranche, & que de pofitives qu'elles étoient, on fait qu'elles deviennent négatives. C'eft pourquoi on donne cette Règle générale, qu'il faut changer les fignes de la grandeur qu'on veut fouftraire. Vous vous fouvenez que nous avons dit que devant une grandeur qui n'eft précédée d'aucun figne, celuici-y peut être fous-entendu. Suivant cette Règle, pour fouftraire b-+d, ou +b+d de c-ƒ, il faut changer les deux fignes de +b+d en cette manière c-+f-b-d, comme il a été dit.

Cette Règle fe trouve toujours véritable; car lorfque le figne-fe rencontre dans la grandeur qu'on veut fouftraire: comme ici, fi on veut fpuffraire bou+b—d de c+f, il faut changer ces fignes ben des fignes contraires de cette forte c+f-b+d. Quand on fouftrait b―d de c+f, on ne veut pas ôter entièrement la grandeurb, il s'en faut la grandeur d: ainfi ayant mis c+f-b; on retranche de c+fplus qu'il ne faut retrancher; fçavoir la grandeur d, c'eft pourquoi on l'ajoute, lui donnant le figne en cette manière c+f-bd. Selon cette Règle, ayant fouftrait b-d de c—ƒ, le reste eft c-f-b+d.

On peut abréger les expreffions d'une fouftraction, en obfervant deux chofes dont nous avons déja parlé. 19. Lorfqu'il faut ajouter des grandeurs exprimées par les mêmes lettres, il fuffit de mettre devant une de ces lettres un chiffre qui marque combien elle eft ajoutée de fois à elle-même, comme au lieu de b+b+b+2b, on peut mettre 56. 2°. Puifque + une grandeur-la même grandeur, cela ne fait rien: b-b égal à zéro, on peut fans diminuer la valeur d'une expreffion, fupprimer les lettres qui fe trouvent avec le figne+ & avec le figne; par conféquent ôtant +c+fde c+d+f, comme cela fait c+d+f—c▬ƒ, en retranchant les lettres c & f qui ont des fignes contraires, le refte de cette foustraction est +d.

Si l'on fouftrait a-b de 3a+b, felon la Règle générale, après la fouftraction, il refte za+b—a+b. Or on peut abréger cette expreffion, car 3a-a ne font que 2a, & +b+b valent 26; ainfi 24+26 valent autant que za+b—a+b.

En retranchant a+3b de 3a+2b, felon la Règle, le refte fera 3a+2b-a-3b. Mais puifque 34-4 eft égal à 2a, & que +26-36 eft égal à ; il eft évident que 3a+2b—a—3b font 2a-d.

Pour fouftraire 34-36 de 5a-4b, felon la Règle générale, le refte fera 5a-4b-3a+3b, Or, 1o. 5a-3a eft égal 2a; 2°. d'une part on ôte 4b, & de l'autre on ajoute 3b, comme vous le voyez dans l'opération 5a-4b-3a3b: ainfi il faut fupprimer 3b, & n'en marquer qu'un avec le figne-pour abréger cette expreffion, qui fera réduite à celle-ci 2a-b. Soit donné 5a+2b dont il faut fouftraire 4a6b, je retranche premièrement 4a de 5a, & il refte un a. Enfuite pour retrancher 6b de 2b, comme on ne peut pas ôter d'une grandeur ce qu'elle n'a pas, après avoir fupprimé 26 pour retrancher les 4b qui reftent, je les retranche de la grandeur a en les liant avec cette lettre en cette manière a—4b.

EXEMPLES DE SOUSTRACTIONS.

Si dans ces dernières opérations vous n'apperce-vez pas comment ces fouftractions donnent de tels> reftes, faites les opérations tout au long, & vous découvrirez fans peine comment en abrégeant une expreffion felon qu'il a été enfeigné, ces fouftractions ont les reftes qui font marqués dans les Exemples propofés.

L'Addition & la Souftraction fe fervent de preu-es. Pour m'affurer qu'ayant retranché a-+6b de a+-2b, le reste est 4a—4b; j'ajoute 44-46 avec

a6b; & trouvant que la fomme eft de 5a+-26, je fuis affuré que l'opération eft bonne. Au contraire, pour m'aflurer que 5a2b eft la fomme de 44-4b, & a-+6b, je retranche l'une de 5a-+-26; fi le reste de la fouftraction donne l'autre fomme, l'addition a été bien faite, comme on l'a enfeigné ci-dessus.

Difons encore que pour ajouter enfemble deux grandeurs complexes, il n'y a qu'à les écrire l'une après l'autre avec leurs mêmes fignes ; & que pour fouftraire une grandeur complexe d'une grandeur auffi complexe, il faut écrire la grandeur à fouftraire après l'autre, en changeant tous les fignes de celles que l'on fouftrait, & réduire le tout dans l'une & l'autre opération à la plus fimple expreffion. Par exemple, fi l'on veut ajouter 3a-4c5b+-8 avec 4a-2c-2b+4, l'on écrira 3a-+-4c-5b+-8+4a—2c−2b+4, ce qui fe réduit

47a+2c-7b-+-12.

:

De même, fi l'on veut fouftraire 3a4c5b+8 de 4a-2c-2b-+-4, l'on écrira tout de fuite 4a-2c -2b43a-4c+5b-3: ce qui fe réduit à a-6c +3b-4. Il n'eft point néceffaire en ces opérations d'écrire les termes fen.blables fous les femblable: fi nous Pavons fait, ce n'étoit que pour représenter aux yeux ces opérations.

DE

LA MULTIPLICATION.

A multiplication des grandeurs complexes fe fait prefque de la même maniere que, la multiplication des nombres qui ont plufieurs chiffres. Comme dans les nombres on multiplie tous les chiffres du nombre à multiplier par chaque chiffre du multipliant; en forte qu'il y a autant de multiplications partiales qu'il y a de chiffres dans le multipliant auffi dans les grandeurs compofées, on multiplie toutes les parties de la grandeur à multiplier