TRAITÉ

D'ALGÈBRE,

OU LES

QUATRE OPÉRATIONS DE L'ARITHMÉTIQUE,

AJOUTER, SOUSTRAIRE,

MULTIPLIER ET DIVISER,

Sur des Grandeurs marquées avec des Lettres de l'Alphabet.

CHAPITRE PREMIE R.

L'Arithmétique avec des Lettres, eft ce qu'on appelle l'Algèbre; elle s'applique aux grandeurs pofitives & négatives. Ce que c'eft que ces Grandeurs.

N peut marquer des Grandeurs avec d'autres fignes qu'avec des chiffres; fçavoir, avec les Lettres de l'Alphabet. Il faut donc voir comment on peut faire les quatre opérations de l'Arithmétique, en fe fervant de Lettres. Il dépend des hommes d'établir, pour figne d'une chofe, tout caractère qu'ils voudront

choifir. Celui-ci 7 fignifie fept; parce qu'on eft convenu qu'il fignifieroit 7; ce qu'on auroit pu marquer par tout autre caractère. J'apperçois donc que l'on peut marquer les opérations de l'Arithmétique de la manière qu'on le voudra.

On a établi que ce figne+, qui est une ligne coupée par une autre ligne, fignifieroit plus ; & qu'une fimple ligne couchée comme celle-ci-, fignifieroit moins. Ajouter une grandeur à une autre, c'eft prendre l'une avec l'autre, ou dire l'une plus l'autre. Ainfi on eft convenu que pour ajouter ensemble deux Grandeurs marquées avec des lettres, on joindroit avec ce figne+qui fignifie plus, les lettres qui marquent ces Grandeurs. Que, par exemple, pour ajouter la Grandeur a avec la Grandeur b, on écriroit a + b, c'est à-dire a plus b.

Souftraire une Grandeur d'une autre, c'eft prendre celle-ci moins la premiere. Quant on dit fix pieds moins quatre pieds, on dit qu'on a fouftrait quatre pieds de fix pieds. Il n'eft donc question, pour marquer la fouftraction d'une Grandeur mar quée par lettres, d'une autre Grandeur auffi marquée par lettres, que de joindre leurs lettres avec ce figne - qui fignifie moins. Si la premiere eft a, dont on veut retrancher b, en écrivant a — b, on marque qu'on a retranché b de a car cela veut dire a moins b.

Cela ne doit faire aucune difficulté. Les fignes, comme on vient de le dire, font des choses arbitraires, il n'eft queftion que de prendre garde à ce qu'on veut qu'ils fignifient. Ainfi étant convenu une fois que pour marque qu'on conçoit une Grandeur multipliée par une autre, on joindra fans aurre figne les deux lettres qui marquent ces Grandeurs; pour multiplier b une Grandeur, par dautre Grandeur, je ne fais que les unir de

cette forte bd, fans autre figne, ou je mets entre deux une petite croix de S.. André. Ainfi A X B marque que A eft multiplié par B, que c'est le produit de ces deux Grandeurs multipliées l'une par l'autre, & cela veut dire a multiplié par b.

Pour marque de la divifion, on met fous la lettre qui eft le figne d'une Grandeur, la lettre de la feconde Grandeur par laquelle on conçoit que la première eft divifée, une ligne entre deux. Ainfi quand on voit, il faut concevoir que la Grandeur best divifée par a, & cela veut dire a divifé par b.

Cette manière de faire les opérations de l'Arithmétique eft ce qu'on appelle l'Algèbre, c'est-àdire une Arithmétique plus parfaite; ce qu'on prétend que fignifie ce nom dans la Langue des Arabes. On employe l'Algèbre pour trouver des Grandeurs inconnues, qu'on ne peut pas exprimer par des nombres, pendant qu'on ignore leur valeur. Auffi il faut que de tout tems ceux qui ont travaillé fur les Mathématiques, ayent eu une espèce d'Algèbre, c'est-à-dire, des notes pour marquer les Grandeurs qu'ils tâchoient de découvrir. Nous ne fçavons pas qu'elles étoient ces notes dans les premiers tems. Depuis que l'Algèbre a été plus connue, qu'on en a fait des Livres, il paroît que d'abord on n'a eu des fignes que pour les Grandeurs inconnues; pour les autres, on les marquoit avec les chiffres ou nombres ordinaires. On appelloit Nombres Coffiques ceux de l'Algèbre. Ce mot vient de l'Italien cofa, c'est-à-dire, chofe ; parce que c'étoit la chofe même qu'on prétendoit faire confidérer par le moyen de ces notes. Et c'eft dans ce même fens que l'Algèbre fe nomme aujourd'hui Spécieufe; parce que ce font les

efpèces, ou formes des chofes mêmes qu'on défigne par des lettres.

CHAPITRE II.

Moyen de faire les quatre premières opérations de Arithmétique fur les Grandeurs qu'on marque avec une feule lettre, qu'on appelle pour cette raison Grandeurs incomplexes ou fimples.

DE L'ADDITIO N.

N peut concevoir une Grandeur comme faite ou compofée de deux Grandeurs; ainfi, fi l'on veut marquer cette compofition, il faut employer deux lettres, comme, par exemple, concevoir qu'une certaine grandeur a deux parties, h & d, j'appelle cette grandeur b+d, ce qui me la fait nommer Grandeur complexe ou compofée au lieu que j'appelle une Grandeur que je marque avec une feule lettre, Grandeur incomplexe ou fimple. Ce font des termes qu'on invente, pour éviter les circonlocutions.

Ajouter, comme on l'a dit, c'est joindre deux Grandeurs enfemble, ou exprimer par un figne qu'on a joint ces deux Grandeurs. Ainfi il n'est queftion pour ajouter la grandeur b avec la grandeur d, que de les joindre par le figne de cette jonction, qui eft +, écrivant b+d, ce qui vaut autant que h plus d. Il n'eft donc question que de fe fervir des fignes des quatre opérations qu'on a expliquées; les exprimant, comme on eft convenu. Il ne faut pas confondre ces fignes ou ex

preffions: car fi, pour ajouter bavec d, on joignoit de près ces deux lettres fans autres fignes, ainfi bd, puifqu'on eft convenu que cette manière b d eft le figne de la multiplication, on ne marqueroit pas que beft joint avec d, mais qu'on a multiplié b par d, ce qui eft bien différent: car 2 ajouté à fix font 8, mais deux fois 6 font douze.

On peut abréger ces fignes, & il le faut, quand on le peut car il en eft des fignes comme des expreffions, qui donnent des idées plus nettes lorfqu'elles font fimples. Ainfi b+b+b+b signifiant que b eft ajouté quatre fois, au lieu de cette longue expreffion, j'écris 4b ce qui eft la même chofe.

Souvenez vous qu'on eft convenu (car les fignes ne fignifient que ce qu'on convient qu'ils fignifieront) que lorfque le chiffre eft devant la lettre, il marque une addition: ici, par exemple dans 4b, que best ajouté quatre fois à lui-même; mais b marque, comme on le dira, que beft multiplié trois fois par lui-même. Afin qu'on ne s'y trompe pas, on fait enforte que le chiffre qui eft après la lettre ne fe trouve pas exactement dans la même ligne, comme vous voyez ici b. On peut mettre le figne + devant une lettre qui n'a point de figne, quand on fçait d'ailleurs que la grandeur qu'elle marque eft pofitive. Ainfi dans cette expreffion b+d, je puis mettre devant b; -bd.

EXEMPLES D'ADDITION.

Sommes a+b+c|5f|12d+x{a+26|3c+4d\xb+2gc/14

DE