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Et pour avoir le vingtième qui eft le dernier, il faut confidérer que la différence du quinzieme terme au vingtieme eft égale à celle du premier au fixieme; il n'y a donc qu'à dire par Règle de Trois : fi un premier terme donne 243 pour fixième terme, que donnent 4782969 qui eft le quinzieme terme.

R. 1162261467 deniers, & c'eft la valeur du vingtieme cotret.

Et fi on veut avoir la valeur de tous les vingt cotrets, il faut ôter 1, qui eft le premier terme, de la valeur du vingtieme, puis prendre la moitié du refte, à cause que la Progreffion eft en raison triple, & ajoutant cette moitié au vingtieme terme fufdit, la fomme fera la valeur de tous les cotrets, comme il fe voit par l'opération.

1 1 6 2 2 6 1 4 6 7 vingtieme terme,
58
8113073 3 moitié.

17 4 3 3 9 2 2 0 o deniers pour la fomme des 20 termes, & la valeur des 20 cotrets.

Pour faire entendre ce qui eft dit ci-dessus touchant l'addition de tous les termes, je dirai qu'en toute Progreffion, le premier terme & le dernier étant connus, fi on ôte le moindre nombre du plus grand, & que l'on divise le refte par le nombre exprimant la différence des termes, le quotient donnera la différence de tous les termes moins le plus grand, lefquels ajoutés enfemble, la fomme qui en provient eft la valeur de tous les termes de la Progreffion, comme il fe voit ci-deffus, & auffi par l'exemple ciaprès d'une Progreffion, qui eft telle:

4

16 64 256

*

1024 4096

En cet exemple, la différence du premier terme au deuxieme eft 3, par conféquent ayant le septieme terme, qui eft 4096, fi on veut trouver la va

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leur de tous les fept termes il faut divifer 4096 moins 1 par 3, il viendra 1365 qu'il faut ajouter aux mêmes 4096, & il viendra 5461 pour la fomme des fept termes propofés. Ainfi des autres.

DE L'EXTRACTION
De la Racine quarrée.

LA

A racine quarrée doit être confidérée comme une mefure parfaite ou égale en deux dimenfions, fçavoir, longueur & largeur.

D'où s'enfuit qu'ayant trouvé la fuperficie d'une figure très-irrégulière, qui ait autant de côtés que l'on voudra, fi on veut la rendre dans un quarrée parfait où toute ladite fuperficie foit comprife, il faut prendre la furperficie de ladite pièce, fuivant les Règles que j'enfeignerai dans mon Traié de l'Arpentage ci-après; puis ayant trouvé que la fuperficie de la pièce de terre contient 64 toifes ou perches quarrées, de ce produit j'en tirerai la racine quarrée qui fera 8; cela fait, je dis que pour faire un quarré égal à cette fufdite pièce irrégulière, il faut qu'il ait huit toifes de chaque côté.

Pour l'intelligence de ce que ci-deffus, il faut fçavoir que quand on dit quarrer un nombre, c'eft le multiplier par foi-même, & réciproquement que tout nombre multiplié par foi-même, produit un quarré, comme 3 multiplié par 3 font 9, 8 par 8 & réciproquement ces deux nombres 3 & lés racines des quarrés 9 & 64; ainfi r mieux faire entendre cela, j'ai deffous des quarrés & de leurs

r

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... 6 ... 7 ... 8 ... 9 ... 10 Quarrées.

I 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Par le moyen de cette Table, on peut facilement extraire la racine quarrée de tous les nombres qui font au-deffous de 100, parce qu'ils font compris dans icelle; comme fi on demande la racine quarrée de 49, on trouvera que c'eft 7, car 7 fois 7 font 49 nombre quarré.

Mais fi l'on ne trouve pas quelque nombre exactement dans l'ordre des quarrés, on prendra le prochain moindre; comme fi on vouloit extraire la racine quarrée de 69, on prendra 64, qui eft le prochain quarré au-deffous de 69, dont la racine eft 8 pour nombre entier; le refte qui est 5, sera une fraction dont il fera parlé page 333.

Mais fi le nombre duquel on veut extraire la raci ne quarrée eft plus que 100, par exemple, 73964, il faut opérer en cette forte.

Ayant pofé le nombre dont

il eft question, & formé un

3

demi cercle au-devant d'ice- 7. 39. 64: ( 2 lui, pour pofer le quotient comme à la divifion, il faut z féparer les figures de deux en

deux avec un point, commençant à la première figure vers la main droite, & finissant à gauche; comme en cet exemple, le dernier point tombe fur le 7 qui eft à main gauche; on dira donc pour commencer, la racine quarrée de 7 eft 2, qu'il faut écrire au quotient, & auffi fous le 7 fi l'on veut, puis dire 2 fois 2 font 4, lefquels ôtés de 7 refte 3, , que l'on écrira au-deffus du 7, barrant en même-tems le 7 &le 2 auffi qui eft au deffous, comme à la divifion.

Enfuite pour trouver un divifeur, il faut doubler la racine 2 qui eft venu au quotient, il viendra 4

le

qu'il faut mettre au-deffous de 33, mais en avançant d'une figure comme à la divifion, puis dire en 33. combien de fois 4, je trouve qu'il y eft 7 fois, quel 7 étant écrit au quotient enfuite de 2 déja pofé, il le faut auffi écrire pour diviseur fous le puis on dira 7 fois 7 font

49,

ôtez de 49, refte zero, 3 ΙΟ

& retient 4, puis conti- 7. 39. 64: (27 nuant 7 fois 4 font 28, & 4 que j'ai retenu, font 32, 2 47 ôtez de 33, reftera i que j'écris au-deffus de 3.

2

Maintenant pour trouver un fecond diviseur, il faut doubler les deux racines 27, difant: 2 fois 7 font 14, je pofe 4 fous 6, & retiens, 1 ; enfuite je dis 2 fois 2 font 4, & 1 que j'ai retenu font 5, que j'écris fous 7 vis-à-vis du zero; puis je dis, en 10 combien de fois 5, je trouve qu'il n'y peut être qu'une fois, que j'écris au quotient: ayant pofé i au quotient, on l'écrira auffi pour divifeur fous 4, première figure à main droite, & continuant comme à la divifion, on dira une fois 1 eft 1, I ôtez de 4 qui font deffus, refte 3 qu'il faut écrire fur 4; puis

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3

10 23

une fois 4 eft

42

ôtez de 6,

7.

39.64

refte 2 qu'il faut écrire def

(271

fus 6; puis 1 fois 5 eft 5, lef

47 **

quels ôtés de 10, refte pour 5, qu'il faut écrire fur le zero; le tout comme il fe

voit par les opérations ci-deffus.

L'opération étant ainfi achevée, on trouve que la racine en nombres entiers eft 271, & qu'il refte 523, dont il fera parlé ci-après.

Preuve de l'extraction de la racine quarrée.

Pour preuve, il faut multiplier 271 par eux-mêmes, & ajouter à leur produit le refte de l'extrac

tion qui eft 523, la fomme des produits fera 73964; qui eft le nombre duquel on a tiré la racine quarrée; & s'il ne refte rien, on ajoutera tout fimplement les produits, la fomme donnera le nombre requis: Ce que l'on obfervera généralement pour la preuve de la racine quarrée.

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'Autre Preuve de la racine quarrée par 9.

Comme la preuve de la racine quarrée par 9 a "été jufqu'à préfent négligée, parce qu'elle n'eft pas de grande utilité, & par cette raison que les Auteurs, qui ont traité de l'Arithmétique, n'ont pas voulu fe donner la peine de l'expliquer, je n'en parlerai que fort legèrement & comme par curiofité, afin de témoigner au Lecteur que je n'ai voulu rien omettre de ce que j'ai jugé lui devoir donner quelque fatisfaction.

Je proposerai donc la question fuivante, pour mettre en pratique ladite preuve.

On veut extraire la racine quarrée de 67895. R. 260, & refte 295.

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