Exemple. 14 6 8 10. 12 14 Pour avoir la fomme de tous les termes d'une Progreffion Arithmétique continue, il faut ajouter le premier & le dernier enfemble, & multiplier la fomme la moitié du nombre des termes, le pro par duit donnera la fomme de tous les nombres. 4 Exemple. 12 14 16 18 6 8 ΙΟ On voit que la fomme des deux extrêmes eft 22, & la multitude des termes eft 8, dont la moitié eft 4; multipliant donc 22 par 4, le produit fera 88 pour la fomme de tous les termes. à con On pourroir former fur ce fujet une question telle: Un Marchand a vendu 150 aunes d'étoffe, dition que de la première aune il recevra 1 livre, de la deuxième 2 liv. & de la troifième 3 liv. & toujours en augmentant d'une livre, felon la naturelle Progreffion jufqu'à la dernière aune; on demande combien doit recevoir le Marchand. Pour faire cette Règle, ajoutez le premier terme 1 avec 150 dernier terme, la fomme fera 151, qu'il faut multiplier par 75, moitié de 150, & le produit donnera 11325 liv. pour la valeur defdites 150 aunes. Preuve. La p preuve fe doit faire par une autre question oppofée, difant: Un Marchand a vendu un certain nombre d'aunes d'étoffe 11325 liv. il a donné la première aune pour 1 livre, la deuxième pour 2 livres, & la troisième pour 3 liv. & toujours en augmentant d'une livre jufqu'à la dernière aune; on demande combien il a vendu d'aunes. Pour faire cette Règle, il faut doubler le produit ci-devant trouvé qui eft 11325, il viendra 22650, dont la racine quarrée fera 150, & ce font autant d'aunes qu'il a vendues, obfervant qu'il faut que le refte de l'extraction fe trouve égal au quotient, comme il fe verra ci-après par l'opération, autrement la Règle feroit fauffe. Autre Question. Il y a 120 pierres dans un pannier, que l'on pro. pofe de placer en ligne droite, de forte qu'elles foient éloignées l'une de l'autre de 6 pieds, mais à condition que celui qui les doit ranger, les prendra dans ledit pannier une à une pour les pofer; puis étant toutes rangées en leur place, il faut qu'il les releve toutes une à une pour les remettre dans ledit pannier où il les avoit prifes; on demande combien il fera de chemin. Pour réfoudre cette queftion, il faut confidérer que les pierres étant pofées de 6 pieds en 6 pieds; pour parvenir jufqu'à la dernière, il fe trouvera 119 fois 12 pieds (à caufe qu'il faut aller & revenir )_qui valent 1428, qui eft le dernier terme d'une Progreffion Arithmétique, de laquelle le premier terme eft 2, & la multitude des termes eft 119: mainte nant pour trouver combien il faudra qu'il chemine de pieds, j'ajoute 1428 avec 12, cela fait 1440, dont la moitié 720 étant multiplié par 119, le produit fera 84680 pour le nombre des pieds de l'étendue du chemin qu'il doit faire pour les placer; & s'il veut ramaffer lefdites pierres, & les remettre dans ledit pannier de même ordre, il fera obligé de cheminer encore autant; il n'y a donc qu'à doubler 85580, il viendra 171360 pieds; & c'eft le chemin qu'il doit faire pour les placer & les relever. Or, pour fçavoir combien ce feroit de lieues & parties de lieues qu'il feroit, on fçait qu'un pas Géométrique vaut 5 pieds, tellement que fi on divife les 171360 par 5 pieds valeur d'un pas, on trouvera 34272 pas: on compte 2000 pas pour une lieue, divifant donc 34272 pas par 2000, on aura 17 lieues à faire, & 272 pas davantage, qui valent un demiquart de lieue & 22 pas. Preuve. Pour preuve qu'il cheminera 85680 pieds pour pofer lefdites pierres, il en faut tirer le douzième, il viendra 7140, qu'il faut doubler felon l'ordre de la preuve de la Progreffion naturelle, il viendra 14280, dont la racine quarrée sera 119 & 119 de refte; & c'eft la preuve. Dans les queftions que je ferai à la fin, il y en aura plufieurs fur ce fujet, ce que ci-dessus n'étant que pour fervir d'instruction. De la Progreffion Géométrique. A Progreffion Géométrique eft celle dont le premier terme eft au deuxieme, comme le troifième au quatrième ; par exemple, 2 est à 4 en même raifon que 4 eft à 8, parce que 2 eft contenu 2 fois en 4, & 4 est auffi contenu deux fois en 8. On appelle Progreffion Géométrique continue, quand le premier terme eft au deuxième, comme le troifième au quatrième, comme il fe verra ci-après. Dans la Progreffion Géométrique, fi plufieurs nombres font proportionnaux continuement, la multiplication des extrêmes eft égale à la multiplication de ceux d'entre deux qui font également éloignés des mêmes extrêmes. Par exemple 2 4 8 16 32 64 La multiplication de 2 par 64 eft égale à la multiplication de 4 par 32, & à celle de 8 par 16. Et fi d'aventure les nombres proportionnaux étoient en nombre impair, le quarré de celui du milieu feroit égal à la multiplication du premier & du dernier, c'eft-à-dire, des extrêmes. Et de-là on peut tirer la folution de la question fuivante : un Seigneur veut faire faire une Tour de 18 toifes de hauteur, il a fait marché avec l'Entrepreneur à telle condition, qu'il payera 1 livre pour la première toife, 2 livres pour la deuxième toise, & 4 livres pour la troifième, 8 livres pour la quatrième, ainfi de fuite en doublant toujours jufqu'à la derniere, felon l'ordre de la Progreffion Géométrique; on demande combien coûteront les 18 toifes de maçonnerie; il eft nécessaire de trouver la valeur de la dix-huitième toife, d'autant que deux fois fa valeur moins une livre eft la valeur de ladite Tour ayant 18 toifes de hauteur. Il faut confidérer que le premier terme étant 1 livre, le deuxieme fera 2, le troifieme fera 4, ainfi qu'il fe voit de fuite. ... . ... Nombres des termes I... 2... 3... 4... 5... 6 7 8 Valeur des termes I 2 4 8 16 32 64 128 On voit que le huitième terme eft 128, lequel étant multiplié par foi-même, il viendra au produit 16384 pour le quinzième terme : Or, le quinzieme terme étant trouvé, on voit que la différence du quinzieme au dix-huitieme que l'on cherche, eft la même que du premier au quatrieme ci-devant : on dira donc par une fimple Règle de Trois : fi un premier terme produit 8 pour quatrième terme, que produira le quintieme terme, qui eft 16384; faifant l'opération comme ci-après, il viendra 131072 pour le dix-huitieme terme que l'on cherche. * R. 131072 pour le dix-huitieme l'on cherche. terme que Mais fi on veut avoir la valeur des 18 termes, il faut doubler le nombre * ci-deffus trouvé moins 1 à caufe que la Progreffion eft en raison fous-double, il viendra 262143 liv. pour la valeur des 18 toiles propofées. Seconde Exemple. Un Crocheteur ayant une charge de 20 cotrets à vendre, il fe préfente un Bourgeois pour les acheter; ils conviennent de prix à telle condition que du premier coteret le Bourgeois en payeroit 1 nier, du deuxième il payeroit 3 deniers, du troifieme 9 deniers ; & ainfi de fuite en raison triple; on demande combien ledit Crocheteur devoit recevoir d'argent pour fa charge de cotrets. La queftion ci-devant enfeigne comment il faut procéder pour la réfolution de celle-ci, c'eft pourquoi je me contenterai d'en faire l'opération. Nombres des termes 1 2 3 4 5 6 7 Valeur des termes I 3 9 27 81 243 729 2187 8 Il fe trouve 2187 pour la valeur du huitieme terme qu'il faut multiplier par foi-même, il viendra 4782969 pour le quinzieme terme. |