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restera des différences , & le quotient sera le nombre inconnu que l'on cherche.

Mais si les deux différences sont dissemblables, c'està-dire ,

, que l'une soit notée de plus, & l'autre de moins, ou au contraire, il faut ajouter les deux produits , & semblablement les deux différences , puis divisant la somme des produits par celle des différences , le quotient de la division donnera le nombre inconnu que l'on cherche comme ci-dessus , d'où s'ensuit la Règle suivante qu'il faut observer, sçavoir que Le plus de plus , & moins de moins qu'on vient fouf

traire Mais plus & moins , ou moins & plus, c'est le contraire.

Exemple. Un homme donne par testament 100 livres à trois personnes, à telle condition que le premier en prenne une partie , le second deux fois autant que le premier moins 8, & le troisième trois fois autant que le premier moins 15 , sçavoir combien ils auront chacun.

Posons que le premier en prenne 15, partant le fecond en prendra 22, & le troisième en prendra 30, lesquels trois nombres étant ajoutés ensemble font 67, il devroit venir 100 , partant nous connoisfons

que le premier nombre pris à plaisir est trop petit, & qu'il y a 33 moins , qui est la différence de 67 à 100 ; nous poserons donc notre nombre 15 avec la différence 33.

Ensuite il faut faire une autre position , feignant que le premier doive prendre 18, & par conséquent le second 28 , & le troisième 39; mais ces trois nombres étant joints ensemble , ne font que 85, il devroit venir 100,

il a donc 15 moins de différence, partant nous poserons le nombre de notre seconde position, qui est 18, sous la première pofition 15, & la seconde différence 15 au-dessous de la première différence 33 : comme il se voit.

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Différences.
Première position 15 moins 33
Seconde position 18 moins 15

Ayant ainsi rangé les deux positions & les deux
différences , il faut multiplier en croix la première
position par la différence de la seconde, & récipro-
quement la seconde position par la différence de la
premiere, & des deux produits qui seront 54 & 225,
il en faut prendre la différence, qui fera 369 , qui
sera le nombre à diviser. Il faut aussi ôter la petite
différence 15 de la grande différence 33 , le reste fera
18
pour

diviseur. Divisant donc 369 par 18 , il viendra 20 { au quotient pour la part du premier & par conséquent le deuxième en aura 33, & le troifième 46 1, lesquels trois nombres joints ensemble, font juste les 100 livres proposées , & c'est la preile ve , comme il se voit par l'opération suivante : Multiplications. Produits, Différences. 33 15 594

33. 18

225

15 264 75 divid. 369 diviseur 18 33

15 594 Prod. 225 369

(20 part du premier. +88

33. part du second.

46 part du troisième. Preuve. On gardera le même ordre que ci-dessus, lorsque les différences feront toutes deux plus ou toutes deux moins,

15

Prod.

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100

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152

Autre Opération de la même Queflion , dans laquelle

il y a plus & moins de différence. Que le premier en prenne 30, donc puisque le second en doit prendre deux fois autant que le premier moins 8, il en aura 52 & le troisième trois fois autant que le premier moins il

en aura 75 , la somme de tous les trois est 30, 52 & 75 , qui font ensemble 157 , & ils ne doivent faire que 100, partant il faut mettre pour première position 30, plus 57, d'autant que nous avons excédé la condition de 57.

Maintenant posons que le premier ait 15, puisque le second doit avoir le double du premier moins 8, il aura 22; le troisième ayant le triple du premier moins 15, aura 30 , lesquels trois nombres 15 , & 30 ne font que 67 , qui font moins de 100 de 33, il y aura donc 33 moins de différence : Et pour avoir la solution, si on multiplie l'excès 57 par 15, il viendra 855, & le defaut 33 par 30, il viendra 990, lesquels deux produits mis ensemble font 1845, qui seront divisés par 90 qui est la somme des erreurs 57 & 33., & le quotient sera. 20 $ pour la part du premier; la

part

des deux autres se trouvera comme ci-devant.

Opération de la Règle. 30 plus

57
57

990
33
15

855
33 go diviseur 285 1845 à divi-
30
57

(ser.

22

15 moins

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Autre Question. Trois hommes se trouvent ensemble par rencontre , & s'entretenant de leur âge, l'un d'eux dit, tel a quatre ans plus que moi, & cet autre a autant d'âge que nous deux , & tous trois nous avons 148 ans sçavoir quel âge ils avoient chacun.

Pour résoudre cette question selon les préceptes - ci-devant donnés, il faut fuppofer que le premier eût 20 ans, le second en auroit donc 24 & le troisième 44 , qui font en tout 88 ans , qui font 60 moins que le nombre que l'on cherche , puisqu'ils avoient tous trois 148 ans; on écrira donc 20 moins 60 différence pour la première position. Pour seconde position on prendra 24 pour le prem. Le second aura donc

28 Et le troisièine

52 lesquels trois nombres font 104, & devroient faire 148, on a donc erré par moins de 44 , c'est pourquoi on posera la seconde hypothèse 24 avec la différence 44 , comme il se voit. 20 moins 60

24 moins 44 Puis faisant les multiplications & soustractions , comme il a été enseigné, il viendra 360 pour nombre à diviser , & 16 pour diviseur: Enfin faisant la division, il viendra 35 ans pour l'âge du premier : Le reste est facile.

Opération de la Division.
8
860

( 35 ans pour le premier.
ŁØ6

74 pour le troisième. Preuve 148 ans. Ainsi des autres.

39 pour le second.

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ஒருதருருருருருSSS

DES PROGRESSION S.
Es Progressions font Arithmétiques, Géométri-

ques & Harmoniques. Pour l'Harmonique , d'autant que l'ouie est l'arbitre coutumier de la Musique , elle sert fort rarement à l'Arithmétique. Les deux autres Progressions, sçavoir, l'Arithmétique & la Géométrique sont en usage.

De la Progresion Arithmétique.
A Progression Arithmétique naturelle n'est autre

chofe qu'une suite de nombre se furmontant l'un l'autre naturellement par égale différence : comme 1, 2, 3, 4, 5, &c. ou 2,4,6,8, &c. ou 3, 6, 9, 12, &c.

Toute Progression Arithmétique eft appellée naturelle, lorsque l'excès eft femblable au premier nombre, comme dans les trois exemples ci-dessus : Si les excès du premier au second , du second au troisième , &c. sont égaux, cette Progression s'appellera Progression Arithmétique continue , mais fi l'excès ou la différence du premier au deuxième est égale à celle du troisième au quatrième, & ainfi de deux en deux sans considérer les inter-moyens , elle s'appellera Progression Arithmétique discontinue , comme il se voir ci-dessous. 2 ... 5 ... 8., II

14 ... 17 .. 20 continue
4 7

8
9

13

14 discontinue. En toutes Progressions Arithmétiques, soit continue ou discontinue , quand les termes sont en nombre pair , la somme des termes est égale à la somme des inter-moyens également distans des extrêmes, comme l'exemple ci-après le déinontre,

IO

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