l'emprunt s'eft fait,pour marque de diminution d'un puis fouftraire l'un de l'autre felon l'ordre de la Souftraction.

On remarquera qu'aux nombres entiers, fi on emprunté pour un zero, le zero vaudra 10, & fi on emprunte derrière un ou plufieurs zeros chaque zero vaudra 9, comme il fe verra dans l'exemple ci-deffous, où font pratiquées toutes les obfervations décrites ci-dessus.

Exemple de Souftraction en nombres entiers.

Quelqu'un eft comptable au Roi de la fomme de 50009245; fur quoi il a fait dépenfe de 16045742 on demande de combien il eft res

devable?

Dette

Paye

Reste à payer

Opération de la Règle.

HGFEDCBA

5 0 0 0 9 2 45

1 6 0 4 5 7 4 2

339 6 3503 Explication de la Règle.

Ayant ainfi pofé les deux fommes l'une fous l'autre; fçavoir la paye fous la dette, & une ligne deffous; je commence à fouftraire par la colonne A, difant: Qui de 5 paye 2, refle 3, que j'écris audeffous de la ligne & de la même colomne A.

Enfuite paffant à la colomne B, je dis, Qui de 4 paye 4, il ne refte rien, j'écris zero de fuite fous le 4.

Je paffe à la colomne C, difant: Qui de 2 paye 7, cela ne fe peut, j'emprunte une dixaine fur le 9 prochain de la colomne D, que j'ajoute au même 2, puis je dis Qui de 12 paye7, refte 5.

Enfuite le 9 de la colomne D ne valant plus que 8

à caufe de l'emprunt, je dis : Qui de 8 paye 5 refte 3: Enfuite de quoi je paffe à la colomne E, difant Qui de zero paye 4, cela ne fe peut, j'emprunte une dixaine fur le 5 de la colomne H; puis je dis : Qui de 10 paye 4, refte 6.

Enfuite à caufe que l'emprunt a été fait derrière le zero de la colomne G, ce même zero vaut 9 ; je dis donc: Qui de 9 paye zero ou rien, refte 9 que j'écris.

Continuant, je compte le zero de la colomne G pour 9 auffi-bien que le zero de la colomne F, & je dis: Qui de 9 paye 6, refte 3.

Enfin, paffant au 5 de la colomne H, réduit à 4 à caufe de l'emprunt, je dis: Qui de 4 paye 1, refte 3, d'où je conclus qu'il refte à payer 33963503. C'eft tout ce qui fe peut dire pour l'art de fouftraire les nombres entiers, ou fimples espèces, les uns des autres.

Preuve de Soufraction par l'Addition.

Comme l'Addition précédente fe prouve par fon contraire, qui eft la Souftraction; de même il faut prouver la Souftraction par fon contraire, qui est l'Addition.

Exemple.

Quelqu'un doit 30020 livres, & il en paye comptant 12789 livres, on demande ce qu'il doit de refte.

Faites l'opération de la Souftraction fuivante comme il vient d'être enfeigné.

Pour faire la preuve de cette Souftraction, & généralement de toutes les autres, il faut ajouter la paye avec le refte à payer, & la forme de l'Addition doit être égale à la dette : c'est la preuve.

Le même ordre doit s'obferver pour la preuve de la Souftraction, foit qu'il y ait des livres, fols & deniers à fouftraire des livres, fols & deniers, ou autres espèces, comme marcs, onces, gros, &c. à fouftraire de marcs, onces, gros, &c. comme auffi toifes, pieds, pouces à fouftraire de toises, pieds, pouces.

Si les deux fommes, c'eft-à-dire la dette & la paye, ou une des deux feulement, la dette ou la paye, font compofées de quelques fous-efpèces, comme de livres, fols & deniers on commencera à fouftraire les deniers les uns des autres, s'il fe peut, & des deniers on paffera aux fols, que l'on fouftraira de même les uns des autres.

On remarquera que quand on emprunte pour les deniers, l'emprunt doit être toujours d'un fol, que l'on doit compter pour 12 deniers, qu'il faut joindre aux deniers, foit qu'il y ait des fols à la colomne des fols ou non; & l'emprunt pour les fols est toujours d'une livre ou 20 fols, que l'on prend fur la première figure fignificative des livres; on operera au furplus pour les entiers, comme il vient d'être enfeigné ci-devant.

Exemple de Souftracti、n par livres, fols & deniers.

Dette 427 livres 15 fols 9 deniers.

Paye 195

Reste 232

8

4

B

Autre Exemple de Soustraction, où il faudra emprunter fur les fols pour les deniers, & fur les livres

pour les fols.

Explication de la Règle de Soufraction ci-dessus,
& de la preuve par 9.

Ayant difpofé la Règle; fçavoir, la paye fous la dette, il faut dire : Qui de 5 deniers paye 7 deniers, cela ne fe peut, j'emprunte 1 fol fur les deux fols de la dette, qui vaut 12 deniers, avec 5 font 17, puis je dis: Qui de 17 deniers paye 7 deniers, reste to deniers, que j'écris fous la ligne en la colomne des deniers.

Enfuite paffant aux fols, il faut dire: Qui d'un fol qui refte en paye 9, cela ne fe peut, j'emprunte une livre fur les 8 livres de la dette, qui vaut 20 fols avec un refté font 21; puis je dis: Qui de 21 fols paye 9 fols, refte 12 fols, que j'écris fous la ligne en la colomne des fols.

7

Je continue aux livres, difant: Qui de livres qui reftent paye 5, refte 2 livres; puis qui de 7 paye 3, refte 4 livres, & l'opération ainfi achevée, il fe trouve pour refte à payer 42 livres 12 fols 10 deniers, comme il fe voit ci-deffus; ainfi des autres.

La preuve fe fait par l'Addition, comme il a été enfeigné ci-deffus aux nombres entiers; fçavoir en ajoutant 35 livres 9 fols 7 deniers, qui eft la paye, avec 42 livres 12 fols 10 deniers, qui eft le refte, lefquelles deux fommes font juste une fomme égale à la dette: c'eft la preuve.

Preuve par y de la même Règle de Soustraction
ci-defus.

* Comme j'ai expliqué la preuve par 9 en l'Addition, j'ai jugé à propos de l'expliquer auffi en la Souftraction.

Elle fe fait ainfi : Il faut tirer la preuve de la dette; fçavoir, en rejettant tous les 9 qui fe rencontrent & doublant le furplus de 9 aux livres pour le porter aux fols, & triplant le furplus de 9 aux fols pour le porter aux deniers, & tirant la preuve des deniers, il faut écrire fur une petite ligne le furplus de 9, comme en l'exemple ci-deffus, où il s'eft trouvé2.

Cela fait, il faut tirer la preuve de la paye & du refte confufément, en doublant de même aux livres le furplus de 9 pour paffer aux fols, triplant aux fols pour paffer aux deniers, où l'on doit trouver 2 pour preuve, comme à la dette, fi la Règle eft bien faite, d'autant que la paye & le refte compofant par leur Addition pareille fomme à la dette, elles doivent auffi produire même nombre pour la preuve.

Avertiffement.

S'il arrive qu'en l'ordre des fols & deniers de la dette il n'y ait que des zeros, & qu'il y ait des fols. & des deniers à la paye, alors on empruntera une livre fur le premier caractère fignificatif des livres, & de cette livre valant 20 fols, on en prendra 1 fol qui vaut 12 deniers, & reftera 19 fols au rang des. fols, que l'on gardera dans la mémoire ou que l'on écrira, puis on fera la Souftraction à l'ordinaire, comme il fe voit ci-dessous.