la diverfité des proportions; car tantôt il faut fe fervir de la Règle de Trois fimple directe en nombres entiers.

Tantôt de la même Règle de Trois fimple en fractions.

Tantôt de la Règle de Trois double ou composée de cinq termes en nombres entiers.

Tantôt de la même Règle double en entiers & fractions, ou en fractions feulement.

Tantôt de la Règle de Trois inverse en entiers. Tantôt de la même Règle inverfe en fractions. On fe fert aufli de la Règle conjointe, ou de compofition de raifons, laquelle fe verra en fon lieu.

Définition de la Règle de Trois.

La Règle de Trois eft appellée ainsi, parce qu'au moyen de trois nombres propofés que nous connoiffons, nous en trouvons un quatrième inconnu que nous cherchons.

Cette Règle eft auffi appellée Règle de Proportion, d'autant qu'il y a même raison du quatrième nombre au troifième, que du deuxième au premier; c'est-à-dire, que fi le premier eft double du fecond, le troifième fera auffi double du quatrième; fi triple, triple, fi quadruple, quadruple &c. De même fi le premier n'eft que la moitié, ou le tiers, ou le quart, &c. du second, le troifième ne fera que la moitié, ou le tiers, ou le quart, &c. du quatrième (remarquez que c'eft par ce raifonnement que l'on abbrege les Règles de Trois).

Pour la difpofition de cette Règle, il faut placer les trois nombres propofés, de telle manière que le premier & tro fième foient de même nom, c'eftà dire, que s'il y a des aunes au premier terme il faut qu'il y ait des aunes au troisième ; & réciproquement, s'il y a des livres au deuxième terme ↑

il doit venir des livres au quatrième que l'on cherche, comme fi on difoit:

Si 24 aunes d'étoffe coûtent 36 livres, on demande combien coûteront 48 aunes au même prix.

il

Les termes étant difpofés comme ci-deffous, -faut multiplier le troifième terme par le deuxième, fçavoir 48 par 36, ou au contraire le deuxième par le troifième, qui eft la même chofe, & divifant le produit de la Multiplication, qui fera 1728 par le premier terme qui eft 24, le quotient de la Divifion donnera 72 livres par le quatrième terme proportionel inconnu que l'on cherche, qui eft la valeur de 48 aunes; ainfi des autres.

Opération.

Si 24 aunes 36 1. combien 48 aunes, R. 72 l.

Queftion fur la Règle de Trois, avec l'explication de La preuve enfuite.

On a acepté 45 aunes d'étoffe qui ont coûté 135 livres, on demande combien on aura d'aunes pour 225 livres à la même raison.

Vous voyez, felon cette difpofition, que le premier nombre & le trofième ne font pas de même nom; c'eft pourquoi il faut ainfi former la Règle de Trois, difant:

Si pour 135 livres j'ai eu 45 aunes de drap, combien aurai-je d'aunes pour 225 1.

La Règle étant ainfi difpofée, multipliez comme il vient d'être dit, le troifième terme 225 par le deuxième 45, il viendra au produit 10125, qu'il faut divifer par le premier nombre 135, & le quo

tient donnera 75, c'est-à-dire 75 aunes

pour les 225 1.

Si

Opération.

135 livres 45 aunes, combien 225 livres.

75 aunes.

Pour faire la preuve de cette Règle, & généralement de toutes les autres, on fera une feconde Règle de Trois contraire à la précédente, en feignant d'ignorer combien on aura d'aunes de drap pour 135 livres, difant:

Si pour 225 livres j'ai eu 75 aunes de drap, combien aurai-je d'aunes pour 135 1.

Ayant difpofé la Règle de Trois comme ci-deffus, multipliez le troifième terme par le deuxième, fçavoir 135 par 75, comme il a été enseigné, il viendra 10125 au produit qu'il faut divifer par 225 premier terme, & le quotient donnera 45 aunes pour 135 1. comme il a été propofé.

Opération.

Si 225 livres 75 aunes, combien 135 livres. . 45 aunes

75

Elle fe peut encore prouver ainsi :

Si 75 aunes coûtent 225 liv. combien 45 aunes. .135 liv. comme ci-devant.

Il eft certain, par cette démonftration, qu'une Règle de Trois fe prouve en autant de façons qu'elle a de termes.

Avertiffement fur la preuve de la Règle de Trois.

Comme dans la Règle de Trois il arrive affez fouvent que faifant la Divifion du produit par le premier terme, il refte quelques livres ou autres efpeces à divifer, dont il faut faire la réduction en moindres especes, pour en faire encore la Divifion, après avoir multiplié le troifième terme par le deuxième, ou au contraire je trouve à propos, avant que de paffer à la Divifion qu'il convient de faire enfuite de prouver cette Multiplication ce qui fe fait en divifant le produit d'icelle par l'un des deux nombres, & viendra l'autre, c'eft-à-dire, que fi on divife le produit par le troifième terme de la Règle de Trois, le quotient donnera le deuxième, ou fi on divife par le deuxième, le quotient donnera le troifième, & c'eft la preuve.

La raifon pourquoi il eft à propos de prouver la Multiplication, c'eft que fi elle étoit fauffe, & que l'on divisât le produit d'icelle par le premier terme felon le précepte de la Règle de Trois, la Division & toutes les autres opérations que l'on feroit, fe roient fauffes; au lieu que la multiplication étant prouvée, fi on fait la Divifion enfuite pour trouver le quatrième terme de la Règle de Trois, on eft feulement obligé de prouver la Divifion tout fimplement, en multipliant le quotient d'icelle de telle efpece qu'il eft par le divifeur, pour trouver le produit ou le nombre qui a été divifé, en ajou tant le refte de la Divifion, s'il y en a, comme il fe verra dans la Règle de Trois fuivante, dont je fèrai l'opération toute entière avec la preuve au pied.

Autre Queftion fur la Règle de Treis,
avec la preuve.

77 aunes de marchandise ont coûté 356 liv. on demande combien coûteront 98 aunes au même prix.

Opération.

Si 77 aunes 356 liv. 98-aunes. Preuve de la

98

multiplication.

77

Ayant fait la Divifion ci-deffus, il eft venu 453 livres fols 9 deniers pour la valeur des 98 aunes, & refte 63 deniers par-deffus le tout, que l'on rapportera à la preuve,

Preuve de la Règle de Trois ci-deffus.

D'autant que la Multiplication ci-devant a été prouvée, il n'y a qu'à prouver la divifion du produit qui eft 34888 par le premier terme qui eft 77, fçavoir en multipliant le quotient 453 liv. 1 fol 9 deniers par le divifeur 77, il viendra au produit de la Multiplication le nombre à divifer, qui eft 34888 livres, en a outant les 63 deniers reftés de la Divifion des deniers.